Endre Szemerédi: una leyenda viva de las matemáticas

Endre Szemerédi es un matemático húngaro, nacido en Budapest el 21 de agosto de 1940, cuyos trabajos abarcan Combinatoria, Ciencias de Computación y Teoría de números, entre otros campos. Desde 1986 es profesor de Ciencias de Computación de la Universidad de Rutgers, aunque también ha trabajo en otras universidades, como Stanford, McGill, Carolina del Norte y Chicago. No está de más comentar que su director de tesis fue el matemático ruso Israel Gelfand, el mismo que la matemática y bloguera Tanya Khovanova. Por cierto, según el Mathematics Genealogy Project, Gelfand tiene 345 descendientes (casi nada), y compartió director de tesis con Vladimir Arnold: nada más y nada menos que Andrei Kolmogorov.

Como decíamos, los estudios de Szemerédi están referidos a una gran variedad de campos y en muchos de ellos ha quedado un trabajo o un resultado con su nombre. Por citar un par de ejemplos, tenemos el teorema de Szemerédi-Trotter en geometría combinatoria o el teorema de Hajnal-Szemerédi en teoría de grafos.

Pero el resultado por el que Szemerédi se ha convertido en una leyenda viva de las matemáticas es el llamado teorema de Szemerédi. Es sin duda su resultado más importante y el que más repercusión ha tenido en estudios posteriores.

Szemerédi en Madrid

El caso es que el otro día Javier Cilleruelo se puso en contacto conmigo para comentarme que Endre Szemerédi va a venir a Madrid el próximo día 25 de marzo. La razón por la que va a visitar la capital de España es porque va a impartir la conferencia Long arithmetic progressions in sumsets en el Aula Naranja del ICMAT dicho día 25 de marzo a las 11:30 horas, perteneciente al coloquio UAM-ICMAT, actividad organizada conjuntamente por estas dos instituciones. Así que ya sabéis qué tenéis que hacer si estáis interesados en asistir a esta conferencia impartida por uno de los matemáticos más importantes del siglo XX.

El teorema de Szemerédi

Evidentemente no podía dejar escapar esta oportunidad para hablaros un poco sobre el teorema de Szemerédi, este resultado que hemos comentado que ha sido el más importante y conocido de los obtenidos por Endre. Y quién mejor que Javier Cilleruelo para echarnos una mano con la explicación de este teorema. Le pedí que me escribiera unos párrafos para vosotros en los que describiera este teorema y, como siempre, su disposición para colaborar fue magnífica. El resultado lo podéis leer a continuación.

Los antecedentes del teorema de Szemerédi arrancan en el teorema de Van der Waerden, que afirma que si partimos los números naturales en un número finito de subconjuntos, entonces alguno de ellos contendrá progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

A la vista de este resultado, Paul Erdös y Paul Turán conjeturaron que, de hecho, cualquier conjunto de enteros con densidad positiva debería contener progresiones de longitud k, fuese quien fuese k. Esto es lo que se conoce desde entonces como conjetura de Erdös-Turán.

La densidad de un conjunto infinito de enteros A se define como

y es claro que el teorema de Van der Waerden sería una consecuencia inmediata de esta conjetura.

El primer paso hacia la conjetura de Erdös lo dio Klaus Roth, demostrándola para k=3:

Teorema de Roth (1952): Si la densidad de un conjunto infinito de enteros es positiva, entonces contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud 3.

No era posible extender el argumento de Roth, que utilizaba herramientas del análisis de Fourier, para progresiones de longitud mayor que tres, pero Endre Szemerédi consiguió dar una demostración de la conjetura para todo k.

Teorema de Szemeredi (1977): Si la densidad de un conjunto infinito de enteros es positiva, entonces contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

La demostración de Szemeredi era puramente combinatoria y extremadamente compleja e ingeniosa, y por ella Szemeredi ganó los 1000 dólares de premio que Erdös había ofrecido por su resolución. Pero la historia del teorema de Szemerédi no acaba ahí, ni mucho menos. Como ya hemos comentado en este artículo, este teorema ha jugado un papel crucial en las matemáticas de primera linea de los últimos años:

• En 1995, Tim Gowers dio una demostración analítica del teorema de Szemerédi. Este hecho fue el principal motivo por el que le fue otorgada la medalla Fields en 1998. Además, esta demostración supuso el inicio de un nuevo área de las matemáticas que se denomina Additive Combinatorics.
• En 2004, Ben Green (discípulo de Gowers) y Terence Tao lograron demostrar que los primos, aunque tienen densidad cero, también tenían la propiedad de contener progresiones aritméticas arbitrariamente largas. El teorema de Green-Tao, como así se denomina este resultado, es uno de los grandes hitos de las matemáticas. En 2006, Terence Tao recibió la medalla Fields por éste y otros resultados del análisis.

No se puede hablar del teorema de Szemerédi sin mencionar una de las conjeturas más famosas de Erdös:

Conjetura (Erdös): Si la suma de los inversos de un conjunto infinito de enteros es infinita, entonces contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

Es un ejercicio sencillo observar que esta conjetura implicaría el teorema de Szemerédi y también el teorema de Green-Tao, pero de momento ni siquiera se sabe concluir que bajo la hipótesis de la conjetura, el conjunto debe tener progresiones de longitud tres.

Por su importancia creo que es interesante recalcar que los trabajos relacionados con el llamado teorema de Szemerédi han derivado en dos medallas Fields. Solamente por eso nuestro protagonista ya se merece figurar en una posición preferente entre los matemáticos de la actualidad.

Fuentes:

• Endre Szemerédi en el Coloquio UAM-ICMAT en Matemáticas y sus Fronteras.
• Endre Szemerédi en la Wikipedia en inglés.
• Quizás también os interese este trabajo de fin de máster titulado El Teorema de Roth, de Serafín Ruiz Cabello y dirigido por el propio Javier Cilleruelo, que trata de este tema.

Esta entrada es mi cuarta aportación a la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, de la cual Gaussianos es el anfitrión.