Estamos en época navideña y, por tanto, en una época en la que la lotería es protagonista, más protagonista que el resto del año. Principalmente la Lotería de Navidad, rodeada por un montón de mitos infundados, aunque también la Lotería del Niño tiene su lugar en estas fechas. Lotería de Navidad y Lotería del Niño, ambas, al igual que cualquier juego tipo lotería que se precie, con esperanza negativa. Es decir, ambas son juegos en los que el jugador tiene una ganancia esperada negativa, algo así como que el jugador espera perder dinero. Por ejemplo, la de la Lotería de Navidad es -0,3, lo que significa que por cada euro jugado esperamos perder 30 céntimos. Y con todo y con eso jugamos, y en ocasiones demasiado.
Para todos los que jugáis, y también para los que no jugáis, va la siguiente cuestión:
Si os ofrezco un juego con una ganancia esperada muy grande, ¿cuánto estaríais dispuestos a pagar por jugar?
Posiblemente muchos diréis que como máximo un poco menos de esa ganancia esperada. Bueno, es razonable. Ahora, ¿y si la ganancia esperada fuera infinita?
Un momento, ¿ganancia esperada infinita? Sí, infinita. Esto es, esperamos ganar una cantidad infinita de dinero si jugamos a este juego…Creo que ya va siendo hora de que os cuente de qué va el jueguecito:
El juego consiste en lo siguiente:
Tiro una moneda al aire. Si sale cara continúo tirando, hasta que sale la primera cruz (excluimos la posibilidad de que caiga de canto), momento en el que el juego termina. Si esa cruz ha salido en la tirada
yo te pago
euros.
La pregunta es: ¿cuánto dinero estarías dispuesto a pagar inicialmente por jugar?
Antes de responder analicemos el juego con algo más de detenimiento. Si la primera cruz sale en la primera tirada el jugador gana 
La esperanza del juego (es decir, la cantidad que esperamos ganar al jugar) puede ser una buena medida para decidir cuánto estaríamos dispuestos a pagar por jugar, ¿no? Pues vamos a calcularla. Recordemos que la esperanza de una variable aleatoria discreta (como la que tenemos entre manos) se calcula sumando los productos que se obtienen al multiplicar cada valor de la variable por la probabilidad de que se dé dicho valor. En nuestro caso, los valores de la variable son las ganancias obtenidas según la posición en la que salga la primera cruz (2 euros si es en tirada 1, 4 euros si es en la tirada 2, 8 euros si es en la 3,…), y la probabilidad de cada uno de ellos es la probabilidad de que la primera cruz salga en cada posición. Dicha probabilidad es:
para la primera tirada, ya que tenemos dos casos posibles (cara y cruz);
para la segunda tirada, ya que también tenemos dos casos posibles (cara y cruz), por lo que la probabilidad sería
;
para la tercera, por el mismo razonamiento anterior;
- y así sucesivamente. En general, esta probabilidad,
, vale
, siendo n la tirada en la que sale la primera cruz.
Ya podemos calcular la ganancia esperada al jugar a este juego:
¡¡Ganancia esperada infinita!! ¡¡Esperamos ganar infinitos euros si jugamos!! Estaréis de acuerdo conmigo en que con estas condiciones deberíamos estar dispuestos a pagar cualquier cantidad de dinero, por grande que sea. Qué digo yo, ¿100000 euros por ejemplo? ¿No? ¿Os parece mucho? Veamos…¿10000? Sigue siendo demasiado…¿1000 euros quizás?
Estoy convencido de que la mayoría de vosotros seguirá pensando que todavía es demasiado dinero, aun teniendo una ganancia esperada de infinitos euros. Esta aparente paradoja es la razón por la que este juego es conocido como paradoja de San Petersburgo. Bueno, esto y la relación que en sus inicios tuvo con esta ciudad rusa. Parece ser que este problema fue planteado por primera vez por Nicolaus Bernoulli en 1713. Nicolaus pasó un tiempo reflexionando sobre él, pero en 1715, al ver que no obtenía resultados concluyentes, se lo pasó a su primo Daniel Bernoulli, que para Nicolaus tenía mayor capacidad matemática que él mismo. Éste, después de unos años de estudio y reflexión, publicó su análisis y su propuesta de solución en las Actas de la Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1738. De aquí que esta paradoja lleve ese nombre.
Volvamos a nuestro juego-paradoja. ¿Cómo solucionamos el tema? Por un lado tenemos ganancia esperada infinita, pero por otro parece una locura pagar una cantidad muy grande (de hecho hasta lo parece con una cantidad relativamente grande) por jugar, ya que es bastante probable que la primera cruz salga bien pronto. Pues parece que no hay lo que podríamos llamar una solución de esta paradoja, aunque es cierto que sí se han realizado muchos estudios sobre ella y hay propuestas interesantes.
Posiblemente la idea más interesante sea la que tuvo el propio Daniel Bernoulli, que fue considerar que una cantidad concreta de dinero no tiene el mismo valor para todo el mundo. Me explico: 1000 euros es algo extremadamente valioso para alguien que no tiene ningún tipo de recurso, pero no lo es tanto para alguien que sea millonario. Esto es, la utilidad del dinero es subjetiva, depende de la persona, por lo que el jugador decidirá qué cantidad máxima estaría dispuesto a jugar en función de la utilidad que para él tenga dicha cantidad de dinero. Este argumento puede parecer muy obvio y sin mucho interés, pero en la práctica ha derivado en lo que actualmente se conoce como teoría de la utilidad, introducida por Von Neumann y Morgenstern a mediados del siglo XX. De todas formas es cierto que argumentos como éste se adentran en muchas ocasiones en cuestiones de índole psicológica y abandonan en parte las matemáticas.
Hay otras ideas de estudio y propuestas de solución del juego, principalmente relacionadas con la imposibilidad de que puedan darse los infinitos resultados posibles del mismo o de que pueda existir una banca que pueda cubrir un posible premio descomunal. En los enlaces que podéis encontrar al final del texto podréis encontrar información sobre todo esto.
Y ahora os toca a vosotros: ¿qué os parece este juego? ¿Jugaríais? ¿Cuánto? Todas vuestras opiniones serán bienvenidas.
Fuentes y enlaces relacionados:
- Sortis in Ludis: De la paradoja de San Petersburgo a la teoría de la utilidad (pdf), de Juan M. R. Parrondo. En este enlace (pdf) tenéis una especie de resumen del mismo.
- La paradoja de San petersburgo en XatakaCiencia.
- Paradoja de San Petersburgo en la Wikipedia en español.
- En la entrevista que Bernardo Marín me hizo para El País hace unos días cito esta paradoja.
- Imagen de Daniel Bernoulli tomada de aquí.
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Típico problema que estudia en las asignaturas de Microeconomía para dejar claro que el valor esperado de una apuesta no lo es todo, y que lo que de verdad importa es la función de utilidad sobre esa lotería que el individuo tenga.
Se dice que un «individuo racional» no apostaría más de 20, ¿me equivoco?
Ofreceme el juego pagando menos de 100 euros y acepto:D. Y no porque 100 sea la cantidad tope, sino porque a ojo lo es para mi banca, si tuviera más dinero, más podría pagar, porque hace disminuir mi riesgo de bancarrota.
¿Cual es el precio mínimo a pagar?, ¿cuantas veces puedo jugar?
Sin esos datos, yo jugaria 1€ de manera permanente
Y si en el paso de calcular la esperanza digo que:
¿Qué ocurre?
He realizado unas pruebas aleatorias con Excel con 36 series jugadas cada vez, y pese ha haber cobrado dos premios de 128 y 2 de 64, el cobro medio estaba entre 5.5 y 8.5 en las 4 series que he hecho.
Así que pagar 6€ o mas entra en la zona de loteria.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Estamos en época navideña y, por tanto, en una época en la que la lotería es protagonista, más protagonista que el resto del año. Principalmente la Lotería de Navidad, rodeada por un montón de mitos infundados, aunque……
Juanjo Escribano, el premio inicial lo pone quien te ofrece el juego. Por eso la pregunta es cuánto dinero estarías dispuesto a pagar.
GOB xDDD.
Diamond De acuerdo, pero si no hay precio mínimo para jugar ni nº de partidas máximo ya he puesto el ejemplo en el que gano tantos euros como tenga el el que haga de banca (posiblemente con mucho sueño, pero a 3 manos al minuto y 36 horas aguantaría, pese a la edad). 36h = 36* 60 m = 2160m = 2160 * 3 partidas = 6480 partidas y aprox 30.000€ segun mi segundo comentario. Dos dias de recuperación, una nueva sesión, y con 4 sesiones me jubilo (no caerá esa breva). Máximizo mi negocio, pagando solo 1 cm de… Lee más »
JEJE, el otro día (no recuerdo a santo de qué) mi mujer se preguntaba cómo algo podía ser «teóricamente factible» pero «prácticamente no factible» y buscaba ejemplos no demasiado complicados.
Yo le propuse exactamente este juego como ejemplo. Es teóricamente factible ganar muchísimo dinero (es posible que la primera cruz salga en la tirada 100000). Pero en la práctica, suele salir a la 3ª o 4ª tirada, con lo que la ganancia se queda en unos 5 euros.
Desde el momento en que se pregunta «cuánto estás dispuesto a pagar por entrar en el juego» se está saliendo del terreno de las matemáticas y entrando en el de las preferencias personales, donde la psicología, la actitud frente al riesgo y mil cosas más influirán en la decisión. La teoría de la utilidad esperada da una respuesta y requiere, en particular, que esta esté acotada para no caer en este tipo de paradojas. (Para de San Petersburgo en particular no hace falta que esté acotada, con poner que la utilidad es el log de la cantidad de dinero ganada… Lee más »
Dado que el premio es el inverso de la probabilidad de obtenerlo, independientemente de la cantidad apostada, parece que lo más rentable es pagar la mínima cantidad permitida para poder participar.
Cada participante habitual en juegos de azar suele dedicar cada vez una cantidad casi fija en ellos, que depende de su capacidad económica y de su nivel de adicción. Lo lógico sería que fijara esa cantidad, como tope máximo, para sustituir alguna vez por este juego (si estuviera disponible) el que habitualmente utiliza.
Objetivo: ganar. Ergo, pagaré lo adecuado a un equilibrio entre lo seguro de ganar y el riesgo de perder. Seguro que ganaré sólo si pago 0, no hay un beneficio asegurado. Todo beneficio deberá medirse contra el riesgo de perder. Es cierto que la esperanza final se jugar y jugar es infinito, pero en infinitas partidas., por lo que bien dice Juanjo, uno puede valorar el tiempo dedicado versus la ganacia esperada. ¿cuánto pagaría? Si se paga sólo una vez, valoraría el tiempo dedicado versus el beneficio (ojo a la paradoja de cuanto más juegas aparecen premios mayores!). Puede darse… Lee más »
Bah! la ganancia esperada es infinita pero numerable.
Yo si no voy a poder biyectar mi fortuna con la recta real, no me pringo.
[…] See on gaussianos.com […]
Con 10^7 muestras y
###
from random import random
def paga():
… n = 0;
… while random() > 0.5:
…… n += 1
… return 2.0**n
###
In [16]: r = []
In [17]: for i in range(10000000): r.append(paga())
In [18]: sum(r)
###
en Python el promedio de ganar está alrededor de 12 euros. Muy a veces hasta 14, pero de ahí no pasa.
Me sorprende que no se cite en este artículo (que por otra parte muy interesante) la varianza. Pero encontramos un pequeño problema: partimos con desventaja. Paso 1: pagamos 2 euros por lanzar la moneda paso 2: lanzamos la moneda y a) cara RECUPERAMOS (que no ganamos) los 2 euros anteriores; b) perdemos los 2 euros. Si sale cara y decidimos jugar, «recuperarmos» los 2 euros iniciales y nos encontramos ante la «barrera» del 50% para cobrar los 4 euros (es decir, NO GANAMOS 4 euros, ya que habría que descontar de ahí los 2 euros iniciales) y teniendo sólo, un… Lee más »
1000 euros en una moneda cargada y otros mil para jugar. Nah, en serio. Creo que el precio lo marca las pretensiones. Si yo organizara la apuesta pondría tramos. Ejemplo: el apostante va a por 10 tiradas con lo que opta a 1024 euros. Precio juego 5 euros. Si vas a más tiradas menos cuesta la apuesta y viceversa. con las reglas descritas 20 euros.
Si apostas una cantidad K de dinero, siendo N el número entero mayor tal que 2^N<K entonces la probabilidad de perder dinero es del orden de (1-2^N) por lo tanto mientras mas chica sea la cantidad menor la probabilidad de perder dinero.
Si en la práctica te pasa eso es que la moneda está trucada. Debería salirte cruz en la primera tirada la mitad de las veces, no? Yo creo que hay un error de base en todo esto. El valor de UN juego es 1 euro. Estás sumando infinitos juegos, no calculando el valor esperado de un único juego. En un único juego solo cobras una vez, no una vez por cada posible resultado. Si sales en la primera cobras 2*1/2 = 1 y cero en todas las demás. Si sales en la segunda cobras 4*1/4 =1 y cero en todas… Lee más »
Lo que no he entendido muy bien es donde está la paradoja. No se puede esperar ganar una cantidad infinita de dinero cuando no se espera que caiga una cantidad infinita de veces cara. Y aún en el mejor de los resultados, es decir, si efectivamente cayese una cantidad infinita de veces cara, significaría que nunca jamás podrías cobrar tu premio… no importa cuan lejos te situases en tu línea sucesoria. ¡El juego muy bien podría sobrevivir al universo, y tú sin cobrar! Yo creo que llegado a un número de ceros, llega un punto en el que te da… Lee más »
Los que intentais interpretar o encontrar un error en el planteamiento del problema, o su solución, os equivocáis. El juego realmente tiene ganancia esperada infinita.
Yo, como en economía soy austriaco, aplico la teoría del valor marginal al dinero y la paradoja desaparece.
Los de otras escuelas de economía no sé como las arreglarán, supongo que mal, como siempre xD.
JS, el experimento no es correcto, la media aumenta con el número de muestras:
10E4 – 6.2
10E5 – 9.5
10E6 – 11.7
10E7 – 14.3
Y si x ejemplo acordaramos empezar desde la jugada 10 por 10000??
Hice unas simulaciones en Excel y me da que, apostando 20, es casi imposible ganar, aun si se juega un número muy grande (pero razonable) de veces (10.000, por ejemplo). Para más de 1000 juegos, apostando 4 prácticamente se asegura la ganancia.
«Repetir infinitas veces…»
¡Trollscience tiene la solución!
«…parece que lo más rentable es pagar la mínima cantidad permitida para poder participar.»
Esa es precisamente la pregunta, JJGJJG: ¿cuál sería el precio del «boleto» que estarías dispuesto a jugar por participar? Por ejemplo, si la casa cobra 100EUR, ¿pagarías por jugar? Si cobra 1000EUR, ¿entrarías al juego? ¿10,000? ¿100,000?
Jeje, tan es correcto que encontramos una posible clave. Supongamos que jugamos siete (2^3 – 1) veces. De esas, esperaríamos que (más o menos) cuatro paguen 2^1, que dos paguen 2^2, y que una pague 2^3. El promedio es de 3.42 (si fuera entre 8 sería exactamente 3.0) Ahora juguemos (2^4 – 1) = 15 veces. Esperamos que ocho veces paguen 2^1, cuatro 2^2, dos 2^3 y una 2^4, o sea 4.26 (otra vez, si fuera entre 16 sería 4.0 exacto). Entonces, esperamos que el promedio cambie según cuantas veces jugamos. Interesante, porque la esperanza calculada (infinita) depende de que… Lee más »
He hecho el experimento en python, de la siguiente manera:
El costo por jugar es de 8 euros, luego juego o hasta ganar 10mil euros o hasta perder 10000 euros, bueno jugué la primera vez, y adivinen cuanto gané:
254644 euros.
Iba perdiendo 7440 euros (con las primeras 3643 jugadas), es decir cada vez perdía los 8 euros y ganaba muy poco, a veces 2, a veces 4, y cómo máximo 16, o 32, pero la jugada 3645 me salieron 18 caras.
¿Increíble, no?
Es cierto que el valor esperado de la ganancia es infinita, pero el 93.75% de las veces solo se ganan 16 EUR o menos, y el 99.22% a lo más 128 EUR. Así que, en la práctica, pagar demasiado con la esperanza de (al menos) duplicar lo invertido es peor que jugar a la lotería. La probabilidad de llegar a tener ganancias repitiendo el juego consecutivamente es 1, pero sospecho que el valor esperado del número de veces que hay que jugar para recuperar lo invertido (incluyendo lo perdido en los juegos anteriores) es infinito, si se apuesta más de… Lee más »
Yo me inclino por el nivel de confianza estadística. Por debajo de un porcentaje, calificamos un suceso como raro (el 5% por ejemplo). Así que no es habitual que ocurra eso y no contamos con ello. En nuestro caso, llegar a la 5 tirada ya supera ese nivel (1/32) por lo que yo no contaría con llegar a ella. Yo pagaría menos de 16, que es la ultima ganancia que entra en mi nivel de confianza.
Respuesta, dos euros. De esa forma hay esperanza nula en el peor caso (cruz a la primera y ni gano ni pierdo) y esperanza positiva en sucesivas tiradas. De esa forma, independientemente del resultado, es imposible perder independientemente de las veces que se juegue. Apostar mas de dos euros tiene el problema de que en el peor caso hay perdidas en la primera tirada con lo cual no apuestas sobre seguro.
Si pones una entrada ilimitada al problema (suma de apuestas distintas e indefinidas por jugador), ¿como vas a obtener una ganancia limitada y definida para cada uno? la simple lógica te responde que será también una ganancia infinita e indefinida, ¿no?
Yo creo, si los he entendido bien, que lo que plantean los austriacos que hace la gente al plantear sus inversiones es respecto a la probabilidad de recuperar la inversión de ese dinero que «les sobra». Y esta probabilidad es muy baja para apuestas sólo un poco altas. Los mismos comentarios, la práctica totalidad, dan a entender que su cálculo va por esa probabilidad, no por la esperanza matemática.
La pregunta sólo tiene sentido si se dan las condiciones del juego. Si se me permite jugar infinitamente (suponiendo que viviera infinitamente), cualquier suma valdría la pena (me resulta sorprendente que la gente calcule valores en el ordenador con aleatoriedad teórica, que no real, y se atañe a ellos, a pesar de las explicaciones del artículo).
Qué gracia!
Me pregunto en el mundo real quién haría de contraparte de un juego de ganancia esperada infinita.
Este juego con estas condiciones no tiene sentido económico, pues no habría quien le ofreciera, ya que su pérdida esperada es infinita.
Ahora, como paradoja matemática es muy interesante.
¿Por qué la gente se empeña en confundir economía y matemáticas?
2€ de forma permanente favorece al comprador del boleto, porque hay más de un 50% a que te devuelven lo invertido; concretamente, más de un 25% a que doblas tu inversión. Por eso, a 2€ nadie aceptaría venderte un boleto.
La cuestión objetiva es que cuanto más boletos te permitan comprar más probable será que recuperes la inversión tarde o temprano.
Pues me recuerda al chiste en que la unión europea desea ampliar la producción de leche y llama a diferentes grupos de expertos que exponen sus métodos para conseguirlo. Cuando le toca a los matemáticos empiezan su disertación diciendo «sea una vaca esférica de radio r». Quiero decir que aunque en teoría puede salir cruz en la tirada mil, la realidad es que sale en seis o siete tiradas o menos. Siempre me he preguntado por qué a las matemáticas las llaman «ciencias exactas» cuando en realidad son lo contrario, inexactas, porque dan una aproximación a la realidad, pero nunca… Lee más »
y yo me pregunto, ¿hay un juego en el q siempre ganemos todos y mandemos a los politicos a hacer puñetas? 😛 😀
La respuesta es: – Si puedo jugar sólo una vez, acepto la apuesta y le pido que no tire la moneda al aire, 2^0 = 1, me tiene que dar un euro y he debido apostar menos de esa cantidad. – Si puedo jugar varias veces, superaré el importe máximo que haya ofertado otro jugador para apostar (si no hay competidores por jugar, como el importe de lo apostado no afecta al premio, la apuesta sería la mínima permitida). Una vez aceptada la apuesta no hay más que hacer lo anterior cuantas veces quiera…. «Jugamos otra vez, no tires la… Lee más »
Veo un fallo en el paso 2: Si apostamos 2€, (que es para mi lo que habría que apostar), en todos los casos recuperaríamos los 2€, con lo que el riesgo es nulo. Todo lo que sea pasar de la primera tirada (n=1) son ganancias.
Para mí el planteamiento es este: ¿en qué tirada esperamos que acabe el juego? Las probabilidades de finalizar en la tirada 1,2,3… n son estas: 1: 0.5 2: 0.25 3: 0.125 4: 0.0625 5: 0,03125 6:0,015625 7: 0,0078125 8: 0,00390625 9: 0,001953125 10: 0,000976563 11: 0,000488281 12: 0,000244141 La probabilidad de que la partida acabe en la jugada 12 o antes es de 99,99% aproximadamente (suma de las probabilidades anteriores). Como este 99% me parece suficiente nivel de «seguridad», me quedo con una jugada a 12 tiradas como el caso más largo a estudiar. Si ahora ponderamos el número de… Lee más »
Yo no jugaría más de €4, ya que la esperanza del número de tiradas hasta q salga cruz es 2…
a ver si lo he entendido: premio 2^n probabilidad de premio 1/2^(n-1) probabilidad de que obtenga un premio mayor o menor 1/2(^n-2) o sea, si mi inversión para jugar es x€ la probabilidad que obtenga un premio mayor a la inversión es de 1/2^(log2(inversion-1)) OJO! si invierto menos de 1€ siempre tendré beneficios -se supone que la banca no me dejará-. si invierto 1€ la mitad de las veces me quedo como estoy y la otra mitad gano dinero -no se cuanto- si invierto 2€ la mitad de las veces pierdo dinero, 1/4 de las veces me quedo como estoy… Lee más »
Con un ejemplo se entiende mejor lo que está pasando. Supongamos que pagamos 1000 euros, pues introduzcamos estos 1000 euros en el planteamiento del juego y calculemos la ganancia esperada. Si sale cruz en la primera tirada, nos dan sólo 2 euros, es decir que perdemos 998, que dividido entre 2, para calcular el primer sumando nos da -499. El segundo sumando sería (4-1000)/4 = -249 El siguiente sería (8-1000)/8 = -124 Y así nos encontraríamos sumandos negativos hasta llegar al décimo, el primero que sería positivo, con un valor de 0,024. Los siguientes son todos positivos, tendiéndo muy rápido… Lee más »
Esta paradoja se da porque no se tiene en cuenta una variable inherente al ser humano: No se puede jugar infinitas veces.
Siendo n el número de veces que jugaría, la apuesta que garantizaría ganancia >= 0 sería 2n.
No vale. Imagina que solo se lo ofrecen a una persona. Si tu pagas un euro, yo pago uno y medio y juego yo. Quiero decir, que matemática o económicamente hablando la puja debería empezar en dos euros, que es el dinero que tenemos asegurado ganar. Ofrecer menos de dos euros implica una ganancia segura y no tendría sentido el juego, ya no sería una lotería; sería el equivalente a regalar duros a cuatro pesetas.
Saludos
Yo jugaría exactamente la cantidad mínima cuyo exponente >1 no sea el mismo. Teniendo en cuenta que la moneda » no es divisible» yo jugaría exactamente 2€. Ahora bien, si el número de juegos y de tiradas es infinito, me iría a hacer otra cosa y no perdería el tiempo en jugar. Puesto que por probabilidad ganaré 0€ y perderé 0€ juegue la cantidad que juegue. ¡Mas vale una retirada a tiempo!
He meditado sobre lo dicho anteriormente y no es cierto, solo con obtener una racha de caras de dos o mas veces, el dinero acumulado te daría para una racha de cruces muy superior. El problema que veo es que la racha de caras no está garantizado y puedes perder todo tu dinero antes de que aparezca. Por ello y aunque no me garantice que salga una racha positiva, me guardaría para poder jugar unas 1000 veces, esperando con ello que aparezcan varias rachas buena. Siempre jugaría la misma cantidad. Si tuviera 10.000€ jugaría 10€ de cada vez. Con cada… Lee más »
Canduterio (y otros), el juego no depende de ninguna manera de que se jueguen infinitas veces, o muchas, o pocas. Si nos ofrecen jugar una sola vez, las matemáticas implicadas dicen que debemos aceptar, a cualquier precio. Otra cuestión diferente es que el modelo usado sea aplicable a este juego concreto, que es donde está el quid de la cuestión, creo yo. Supongamos el siguiente juego, para alcarar conceptos: Tiramos un dado normal y si el resultado es diferente de 6, pierdes el dinero que inviertas. Si el resultado es 6, ganas 8 veces lo invertido. ¿Debemos jugar? Claramente sí.… Lee más »
Hola, Después de mirarme alguna distribucción de probabilidad he visto que el planteamiento de problema coincide con una distribución geométrica. Que es la distribución de la probabilidad en una serie de ensayos de Bernoulli (cara o cruz, por ejemplo) de obtener X fallos antes de obtener el primer éxito. En este caso sería que saliese la primera cruz. La definición de fallo/éxito en la distribución de geométrica es inversa a la de este enunciado, aunque tampoco importa mucho al ser la probabilidad en ambos casos de 0.5. Así que si vamos a la wikipedia y cúal es el valor esperado… Lee más »