Hace un tiempo Papá Oso, de Sospechosos Habituales, nos mandó una consulta sobre un post suyo de su blog El Hombre de los Dados. El artículo en cuestión relacionaba el teorema de los valores intermedios y los dados, intentando a partir de él construir un dado de 3 caras, es decir, una figura de 3 caras que cumpliera que las 3 caras tienen la misma probabilidad de salir al tirarla tipo dado. Este post va a servir para presentaros el artículo de Papá Oso y para que veáis la respuesta que yo le di.

El TVI y el dado de tres caras

Esta parte del artículo estará dedicada al post de Papá Oso. Concretamente es éste. Reproduzco aquí el grueso del mismo (dicho de otro modo: copio el post; Papá Oso, espero que no te enfades):

El teorema de los valores intermedios en su versión unidimensional dice lo siguiente:

Dada una función real de variable real continua en un intervalo cerrado [a,b] tal que f(a) sea diferente de f(b) siempre cumple que para todo u perteneciente al intervalo (f(a),f(b)) existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f(c)=u.

Teorema de los valores intermedios

Veamos ahora una sencilla aplicación de este teorema: La construcción de un dado cilíndrico de tres caras.

Cilindro

Un cilindro finito tiene tres caras, las dos bases y la pared lateral. Así pues parece razonable que jugando con la altura (h) y el radio (r) del cilindro se pueda conseguir un Dado de tres caras:

Un Dado de tres caras es cualquier objeto tal que al ser lanzado caiga siempre sobre una de sus caras, siendo igual de probable que caiga sobre cualquiera de ellas.

Usaremos el TVI para demostrar que fijado un radio (r=1) existe alguna altura (h) tal que si se lanza el cilindro es igual de probable que caiga sobre una base, la otra o el lado.

Antes de empezar haremos alguna suposición: Suponemos que existe una función continua f que depende del cociente h/r (en nuestro caso h/r=h) y que expresa la probabilidad de que el cilindro caiga sobre su lateral. así pues: f(h/r)=p. Si conseguimos demostrar que f(h/r)=1/3 para algun valor de h/r habremos encontrado las medidas del cilindro que buscamos, dado que el resto de probabilidad (2/3) se tiene que repartir entre las dos bases y por simetría lo hará a partes iguales.

Ahora bien, todo el mundo verá obvio que fijado r si elejimos un valor de h muy grande (HG) obtendremos un cilindro muy alto que con toda probabilidad caerá siempre sobre su costado. En cambio si escojemos un valor ridículamente pequeño de h (HP) obtenemos algo parecido a una moneda que como todo el mundo sabe rara vez caera de canto. Así pues la probabilidad de que caiga sobre el lado se acerca a 1 en el primer caso y a 0 en el segundo.

Pues bien, ya tenemos todo lo necesario para demostrar que exite el Dado cilíndrico de tres caras: tenemos una función real continua (f) que depende de una variable real (h) y un intervalo (HP,HG) tal que f(HP) es un valor próximo a 0 y f(HG) se acerca a 1. Como 1/3 pertenece al intervalo (0,1) podemos asegurar que para algún valor de h comprendido entre HP y HG la probablidad de que el cilindro caiga sobre su costado será exactamente 1/3.

Aclaración final: a pesar de haber demostrado que existe una solución, no sabemos nada acerca de su estabilidad ni estamos seguros de que la función f sea continua. A pesar de ello es bastante probable que así sea y por lo tanto que se pueda construir.

Respuesta: posible construcción de la función f

Al tiempo de publicar su post Papá Oso nos manda un mail comentándonos el tema y pidiéndonos opinión. Esta fue mi respuesta (he corregido un error y he metido las imágenes en LaTeX para que queden mejor):

Hombre, en principio no tiene mala pinta. Pero hay cosillas que quedan un poco en el alero. Por ejemplo, la existencia de esa f es, como dices en el post, una suposición. Una posibilidad podría ser que esa función fuera el área lateral del cilindro partido del área total (suma del área lateral más el área de las caras superior e inferior), es decir:

Función que da la probabilidad

Simplificando y teniendo en cuenta que r=1 quedaría:

Función que da la probabilidad simplificada

Esta función es evidentemente continua en [0,Infinito), que es su dominio. Y si esta función fuera la que da la probabilidad, para calcular el h que nos da valor de la función 1/3 tendríamos que igualarla a 1/3, obteniendo:

Cálculo de h

De todas formas ya te digo, esta por ver que esa sea la función que nos da la probabilidad que tú quieres encontrar.

Conclusión y comienzo del debate

Por lo que hemos visto, para un cilindro de radio 1 debemos tener una altura de 1/2 para que las tres caras sean equiprobables. Eso, evidentemente, si la elección de la función f está bien hecha. ¿Qué pensáis? ¿Véis correcta mi elección de f? ¿Tenéis alguna otra idea? Espero vuestros comentarios.

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