Un «Casi-Pi» podría definirse como una aproximación de Pi que, posiblemente, uno no esperaría encontrarse. Vamos, una operación que involucra ciertos números y que, de manera más o menos sorprendente, da como resultado una interesante aproximación de nuestro amado número Pi.
Tomo prestado este nombre de este post del blog de Claudio Meller (por cierto, blog muy interesante que os recomiendo visitar). Y aprovecho que he visto dicha entrada para enseñaros un «Casi-Pi» bastante curioso:
Este valor, multiplicando por , nos da una aproximación de
con 7 decimales exactos. Lo que decía, bastante curioso, ¿verdad?
Pues la cosa se torna en totalmente intrigante cuando comprobamos que aumentando el número de cincos mejoramos la aproximación. Por ejemplo, para 12 cincos obtenemos lo siguiente:
El resultado, después de multiplicar por , nos ofrece una aproximación de
con 10 decimales exactos. Y, por poner otro ejemplo, con 20 cincos se obtiene
que nos da, después de multiplicar por , una aproximación de
con 19 decimales correctos.
Y podéis seguir aumentando el número de cincos. Cuantos más pongáis, mejor sería la aproximación que obtendréis (después de multiplicar por cierta potencia de 10).
¿Qué está pasando? ¿Qué tipo de brujería es ésta? Tranquilos, no hay ninguna razón oculta en este tema. ¿Casualidad? Como diría aquél, no lo creo. Y, de hecho, no lo es. Todo esto tiene una explicación y, al contrario que cualquier mago que se precie, os voy a desvelar el (sencillo) «truco» que hay escondido aquí.
Para empezar, recordemos que, para valores de cercanos a cero, se tiene que
(hecho que también ha dado para el insulto matemático definitivo)…pero, y esto es muy importante, dicha aproximación se tiene si
está medido en radianes. Si tomamos
medido en grados sexagesimales (los grados de toda la vida), la equivalencia queda así:
Explicado esto, vamos a meternos en el tema. Teniendo en cuenta que
podemos relacionar el 180 con un número formado solo por cincos. Por poner algunos ejemplos:
En general, para cincos se tiene que
Particularizando para , tendríamos que:
Si sustituimos en la expresión anterior del seno en grados, obtenemos el «Casi-Pi» que comentábamos al principio:
Por lo que:
Y, como decíamos antes, al aumentar el número de cincos obtenemos cada vez mejores aproximaciones.
Después de explicar todo esto, después de mostrar el «truco», parece que la cosa no es para tanto. Pero lo que seguro no podréis negar es que la «casualidad» nos proporciona un, cuando menos, curioso resultado, ¿verdad?
Por cierto, ¿qué pensáis sobre la posibilidad de encontrar un «Casi-Pi» ciertamente sorprendente que realmente pueda considerarse una casualidad? ¿Conocéis alguno? Para abrir boca os dejo uno al que, al menos yo, no le encuentro «explicación» (vamos, que parece ser totalmente «casual»):
Esta entrada participa en la Edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, que, en esta ocasión, organiza Marta Macho desde el blog ZTFNews.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Pero habría que poner un símbolo de grado al 1 del numerador
Ignacio, está explicado más adelante. Aunque sí, es posible que la cosa quede más clara con el símbolo del grado.
Yo «descubrí» esto hace muchos años jugando con mi primera calculadora científica de diez dígitos:
sen(0.0018)=3,141592653…x10^-5
Es fácil ver que es una expresión equivalente a las que se comentan en este artículo.
La expresión sen(0.0…muchos ceros…018) nos dará muchas cifras exactas de pi.
[…] Explicando un “Casi-Pi” relacionado con un seno y muchos cincos por Miguel Ángel Morales Medina (@gaussianos) desde el blog […]
[…] Explicando un “Casi-Pi” relacionado con un seno y muchos cincos por Miguel Ángel Morales Medina (@gaussianos) desde el blog Gaussianos, con 10 puntos (2+4+4). […]
[…] Un número que es "Casi-Pi" […]
El «casi-pi» más divertido (para mí) es el que se obtiene tirando agujas: http://mste.illinois.edu/activity/buffon/
Joaquín, es verdad, es muy curioso. Por cierto, escribí sobre ello en 2009 :).