Falacias geométricas resueltas

En las últimas semanas hemos visto dos entradas en las que mostrábamos varias falacias geométricas. Aunque algunos de vosotros ya habéis dado solución a las mismas en los comentarios de cada uno de los dos artículos no está de más que lo hagamos en un post propio. Éste va a estar dedicado a ello.

Falacias Geométricas (I)

En Falacias Geométricas (I) se presentaban tres supuestos teoremas que en realidad son falsos. Unas posibles razones son las siguientes:

ÁNGULO RECTUSO

Este teorema decía que a veces un ángulo recto puede ser igual a un ángulo obtuso.

El teorema es falso por lo siguiente: el punto está mal situado. Si dibujado con suficiente precisión la figura el punto queda tan por debajo de la recta que la recta que une con queda totalmente en el exterior del cuadrado inicial. Por tanto la demostración planteada no puede aplicarse.

ISOSCELOSIS

Este resultado afirmaba que todos los triángulos son isósceles.

El error en este caso vuelve a ser de construcción: el punto está siempre situado fuera del triángulo y en posición tal que al trazar perpendiculares desde a los lados y una de las perpendiculares intersecará a uno de los lados del triángulo, pero la otra intersecará a una prolongación del otro lado.

ÁNGULO=ÁNGULO, LADO=LADO PARALELOGRAMO

La demostración es correcta si e se encuentra cada uno sobre un lado del cuadrilátero, o si tanto como se encuentran en proyecciones de los lados, pero falla si uno se encuentra en un lado y el otro en la prolongación de un lado, como ocurre en la figura de la derecha. Se puede ver que dicha figura cumple las hipótesis del teorema, pero claramente no es un paralelogramo.

Falacias Geométricas (II)

En Falacias Geométricas (II) os presentaba otros dos supuestos teoremas geométricos que, como pasa con los anteriores, también resultan falsos. Os dejo un análisis de cada uno.

¿QUE ES CUÁNTO?

Este teorema aseguraba que .

Siguiendo la construcción planteada está claro que conforme los semicírculos van haciéndose más pequeños sus radios se van acercando cada vez más a cero (tienen por límite cero) y, por tanto, la línea ondulante formada por ellos puede aproximarse tanto como queramos al diámetro del círculo inicial. Pero los semicírculos no pierden su forma en ningún momento. Dado que continúan siendo semicírculos (da igual su tamaño) su longitud total sigue sieno .

Esta falacia es un claro ejemplo de sucesión convergente cuyos términos tienen ciertas propiedades que su límite no hereda.

QUE NOOOOO, QUE EL QUINTO POSTULADO NO ES INDEPENDIEEEEENTE

Con este último resultado se demostraba que el quinto postulado de la geometría euclídea no era independiente de los otros cuatro.

La demostración planteada para este controvertido problema es perfectamente válida en el sentido de que por puede construirse una recta que sea paralela a , pero no demuestra que dicha paralela sea única. Hay otros muchos métodos para construir una paralela a la recta dada que pase por , pero nuestra demostración no garantiza que todas esas paralelas sean la misma recta.

De hecho, por poner un ejemplo, en geometría hiperbólica pueden trazarse por infinitas paralelas. Dicha posibilidad sólo puede descartarse aplicando el quinto postulado o alguno equivalente a él.

Conclusión

Estas falacias presentadas en esas dos entradas deben servirnos principalmente para una cosa: no podemos fiarnos solamente de los dibujos. Las representaciones gráficas pueden engañarnos si nos las presentan con un poquito de mala leche. Por ello debemos tener cuidado con ellas y aplicar nuestros conocimientos para descubrir si dicha representación es correcta o es falsa.

Para terminar os comento que tanto los enunciados de las falacias como las propuestas de solución están sacadas del libroRuedas, Vida y otras diversiones matemáticas, de Martin Gardner; perteneciente a la colección Desafíos Matemáticos de RBA.