Hoy 31 de diciembre de 2011 aprovecho para desearos

Que este año 2012 (en decimal), par (múltiplo de 2) y compuesto (no primo), sea para vosotros abundante en salud y felicidad, aunque en realidad sea un número deficiente (la suma de sus divisores, excepto él mismo, es menor que el propio número). En resumen, que el hecho de que 2012 sea una potencia apocalíptica (ya que 2^{2012} contiene la secuencia 666) y un número malvado (ya que su expresión en binario, 11111011100, tiene un número par de unos) no signifiquen que sea un mal año para vosotros, sino todo lo contrario.

De corazón, os deseo todo lo mejor en este 2012, número de Ulam1. Como siempre, muchas gracias por seguir ahí. Y lo dicho:

FELIZ AÑO 2012=(9*8*7 – 6 + 5)*4 – 3 + 2 + 1 + 0

(Vía Números y Hojas de Cálculo)

Los datos de 2012 los he sacado de Number Gossip.

1: Vamos a construir una sucesión de números enteros positivos que llamaremos U_n. El primero de ellos será el 1, U_1=1, y el segundo el 2, U_2=2. A partir de aquí, el siguiente número en casa caso, U_n, será el menor número entero positivo que se puede escribir de una única forma como suma de dos elementos distintos que estén ya en la propia sucesión. Por tanto, el 3=1+2 será el siguiente elemento, U_3=3, y el 4=1+3 el siguiente, U_4=4. Ahora, el 5 no está en la sucesión, ya que 5=1+4=2+3, es decir, se puede expresar como suma de elementos distintos de la sucesión de dos formas distintas (y estamos buscando los que pueden expresarse así de una única manera). Pero el 6=2+4 sí que está, por lo que U_5=6. Los primeros términos de esta sucesión, esto es, los primeros números de Ulam, son los siguientes:

\begin{matrix} 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, \\ 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, \\ 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, \\ 243, 253, 258, 260, 273, 282, 309, 316, 319, 324, 339 \ldots \end{matrix}

En la OEIS podemos encontrar información sobre la sucesión de números de Ulam (A002858). Por ejemplo, un listado con los 10000 términos de esta sucesión donde se puede ver que 2012 es un número de Ulam, concretamente el 218.

La pregunta típica: ¿cuántos términos tiene esta secuencia? Pues es más o menos evidente que existen infinitos números de Ulam. Lo vemos por reducción al absurdo:

Supongamos que la secuencia de Ulam tiene un número finito de términos, digamos n, y sean U_1, \ldots, U_n dichos términos.

Realicemos ahora la suma U_{n-1}+U_n=K (la suma de los dos últimos números de Ulam). Es claro que K es mayor que todos los números de Ulam, por lo que no está en la secuencia. Pero también es claro que K solamente puede expresarse como suma de números de Ulam precisamente de esa forma, U_{n-1}+U_n (ya que si tomáramos un término menor que U_{n-1} necesitaríamos uno mayor que U_n, que no está en la serie). De hecho, entre U_n y K podría haber algún otro número que se pudiera representar de una única manera como suma de números de Ulam. Por tanto hay más números de Ulam que los n que habíamos supuesto (el propio K o alguno que hubiera entre U_n y K), hecho que contradice la suposición inicial.

Por tanto el conjunto de números de Ulam es infinito.

Como comentario a la demostración anterior, aclarar que dados los primeros n números de Ulam, U_1, \ldots, U_n, se tiene que U_{n-1}+U_n=K no tiene por qué ser un número de Ulam. Por ejemplo, tomando los cuatro primeros términos, 1,2,3,4, se tiene que K=3+4=7 no es un número de Ulam. La razón es que hay uno entre 4 y 7, el 6, que sí lo es, y el hecho de añadir el 6 descarta al 7, ya que 7=1+6=3+4. Pero lo que sí tenemos seguro es que siempre habrá alguno mayor que U_n, para todo n.

Y, como en mucho otros casos, existen generalizaciones de este curioso conjunto de números. A la sucesión de Ulam que hemos descrito se la suele denominar (1,2)-Ulam, por tener como primeros elementos al 1 y al 2. En general, podemos construir la sucesión (u,v)-Ulam, para cualesquiera u,v \in \mathbb{Z}^+.

Fuentes y enlaces relacionados:

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