Hoy 31 de diciembre de 2011 aprovecho para desearos
Que este año 2012 (en decimal), par (múltiplo de 2) y compuesto (no primo), sea para vosotros abundante en salud y felicidad, aunque en realidad sea un número deficiente (la suma de sus divisores, excepto él mismo, es menor que el propio número). En resumen, que el hecho de que 2012 sea una potencia apocalíptica (ya que contiene la secuencia 666) y un número malvado (ya que su expresión en binario,
, tiene un número par de unos) no signifiquen que sea un mal año para vosotros, sino todo lo contrario.
De corazón, os deseo todo lo mejor en este 2012, número de Ulam1. Como siempre, muchas gracias por seguir ahí. Y lo dicho:
FELIZ AÑO 2012=(9*8*7 – 6 + 5)*4 – 3 + 2 + 1 + 0
Los datos de 2012 los he sacado de Number Gossip.
1: Vamos a construir una sucesión de números enteros positivos que llamaremos . El primero de ellos será el 1,
, y el segundo el 2,
. A partir de aquí, el siguiente número en casa caso,
, será el menor número entero positivo que se puede escribir de una única forma como suma de dos elementos distintos que estén ya en la propia sucesión. Por tanto, el 3=1+2 será el siguiente elemento,
, y el 4=1+3 el siguiente,
. Ahora, el 5 no está en la sucesión, ya que 5=1+4=2+3, es decir, se puede expresar como suma de elementos distintos de la sucesión de dos formas distintas (y estamos buscando los que pueden expresarse así de una única manera). Pero el 6=2+4 sí que está, por lo que
. Los primeros términos de esta sucesión, esto es, los primeros números de Ulam, son los siguientes:
En la OEIS podemos encontrar información sobre la sucesión de números de Ulam (A002858). Por ejemplo, un listado con los 10000 términos de esta sucesión donde se puede ver que 2012 es un número de Ulam, concretamente el 218.
La pregunta típica: ¿cuántos términos tiene esta secuencia? Pues es más o menos evidente que existen infinitos números de Ulam. Lo vemos por reducción al absurdo:
Supongamos que la secuencia de Ulam tiene un número finito de términos, digamos
, y sean
dichos términos.
Realicemos ahora la suma
(la suma de los dos últimos números de Ulam). Es claro que
es mayor que todos los números de Ulam, por lo que no está en la secuencia. Pero también es claro que
solamente puede expresarse como suma de números de Ulam precisamente de esa forma,
(ya que si tomáramos un término menor que
necesitaríamos uno mayor que
, que no está en la serie). De hecho, entre
y
podría haber algún otro número que se pudiera representar de una única manera como suma de números de Ulam. Por tanto hay más números de Ulam que los
que habíamos supuesto (el propio
o alguno que hubiera entre
y
), hecho que contradice la suposición inicial.
Por tanto el conjunto de números de Ulam es infinito.
Como comentario a la demostración anterior, aclarar que dados los primeros números de Ulam,
, se tiene que
no tiene por qué ser un número de Ulam. Por ejemplo, tomando los cuatro primeros términos,
, se tiene que
no es un número de Ulam. La razón es que hay uno entre 4 y 7, el
, que sí lo es, y el hecho de añadir el 6 descarta al 7, ya que
. Pero lo que sí tenemos seguro es que siempre habrá alguno mayor que
, para todo
.
Y, como en mucho otros casos, existen generalizaciones de este curioso conjunto de números. A la sucesión de Ulam que hemos descrito se la suele denominar (1,2)-Ulam, por tener como primeros elementos al 1 y al 2. En general, podemos construir la sucesión (u,v)-Ulam, para cualesquiera .
Fuentes y enlaces relacionados:
- Ulam number en la Wikipedia en inglés.
- Ulam sequence en MathWorld.
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Y feliz año a Gaussianos y a ti.
Me ha gustado bastante los datos acerca del 2012.
Feliz fin de año y prospero 2012.
Información Bitacoras.com…
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Gracias por estar a pie de cañón hasta hoy.
¡Qué en 2012 Gaussianos siga siendo tan activo y atractivo!
Gracias.
Feliz año nuevo a vosotros por enseñarnos tantas cosas de matracas 😉
Lo de «potencia apocalíptica» me ha hecho reir como no tienes idea…Feliz año nuevo a todos
Molts d’anys i salut
Sin usar paréntesis, pero usando el 10 y concatenado otros:
¡Feliz 10*9*8 + 7 + 6 – 5 + 4*321 !
(los espacios son para evitar la interpretación del factorial)
O también:
10 + 9*87 – 65 + 4*321
(de http://gladhoboexpress.blogspot.com/2011/01/countdown.html)
Pues eso ¡feliz
a todos!
Y que si el blog igual de estuendo por muchos años …
Feliz año tetrapitagórico
Feliz 2515^2 – 1509^2
Feliz 2530013^2 – 253005^2
Feliz 506020^2 – 506016^2
Feliz 1012037^2 – 1012035^2
¡Feliz año nuevo!
Que pases un gran 2012 😉
Me ha encantado este artículo 😀
[…] un número impar de unos en su expansión decimal: 11010) y un número de Ulam (más información aquí), es el menor no capicúa con cuadrado capicúa (676), un cake number (más información aquí) y […]