Vamos con el problema semanal. Hoy la cosa va de funciones en los naturales:
Demostrar que no existe ninguna función
tal que:
A por él.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos. gaussianos said: Gaussianos.com: Función de los naturales en los naturales http://bit.ly/gPdNMD […]
Consideramos
que por una parte es 
y por otra 
. Por lo tanto, 
. Es decir, 
tal que 
.
Por hipótesis,
y por lo tanto, 
, por lo que no puede existir tal 
Yo lo había pensado más o menos igual. Dejo algún detalle más.
Pero![n+1=ff(n)=f[f(1)+n-1]=f(1)+[f(1)+n-1]-1=2(f(1)-1)+n](https://s0.wp.com/latex.php?latex=n%2B1%3Dff%28n%29%3Df%5Bf%281%29%2Bn-1%5D%3Df%281%29%2B%5Bf%281%29%2Bn-1%5D-1%3D2%28f%281%29-1%29%2Bn&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "n+1=ff(n)=f[f(1)+n-1]=f(1)+[f(1)+n-1]-1=2(f(1)-1)+n")
de donde 
y 
lo que es imoposible.
Generalizando, no existe ninguna función
tal que 
sea inyectiva y 
sea finito y de cardinalidad impar y por tanto no existe tampoco ninguna función tal que 
con 
natural impar.
Esto se deduce de si
es inyectiva entonces 
también lo es y de que los elementos de 
van en pares 
y 
para los que 
.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema semanal. Hoy la cosa va de funciones en los naturales: Demostrar que no existe ninguna función tal que: A por él. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar ……
Generalizando más, dada inyectiva, se puede encontrar una condición necesaria y suficiente para que exista tal que . Aplicando repetidamente a cada número natural, las órbitas producidas pueden ser finitas o infinitas. Son finitas y periódicas cuando al aplicar veces la función a un número da como resultado el mismo número. Son infinitas cuando a partir de un número aplicando repetidas veces va dando como resultado números siempre diferentes. La condición necesaria y suficiente para que exista es que el número de órbitas de con la misma cardinalidad sea par. En el caso en que , aplicando repetidamente al número… Lee más »
Rectifico, dado
inyectiva, la condición necesaria y suficiente para que exista 
tal que 
es que para las órbitas de 
con cardinalidad par o infinita el número de órbitas con la misma cardinalidad sea par o infinito.
Lanzo una pregunta al ruedo aprovechando que se habla de los Naturales.
¿Consideramos el 0 dentro o fuera del conjunto?
La Wikipedia no se aclara… http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
@Tito Eliatron: Muy bien, solo que al final hay una errata no??
Que sigue sin pertenecer a
, por tanto la demostración queda intacta.
Un poco tarde, pero es que hasta ahora pude volver a leer Gaussianos… Supongo que existe una función en los naturales tal que , si evaluamos denuevo tenemos y así la siguiente fórmula . La cual nos permite afirmar que f es creciente pues: como entonces , luego y como entonces f es estrictamente creciente!! Por inducción es facil ver que el rango de f es {1,2,3,…}este conjunto tiene minimo el 1. Luego (por ser f creciente) . Así, Utilizando la fórmula de la hipótesis y se tiene que , por otro lado con la fórmula obtenida se tiene. Luego… Lee más »
Llego a lo mismo que Tito, lo cual lo voy a repetir pero con inducción, quiero demostrar que f(n+k)=f(n)+k para k un número natural, entonces para k=1: (1) f[f(f(n))]=f(n+1) (2) f(f[f(n)])=f(n)+1 Obviamente, independientemente de los corchetes son lo mismo, así que: (3) f(n+1)=f(n)+1 Lo cual se cumple. Ahora, para probar k, lo hacemos para k+1: (4) f[f(f(n+(k+1)))]=f(n+(k+1)) (5) f(f[f(n+(k+1))])=f(n+k)+1=f[n+(k-1)]+1+1=f[n+(k-2)]+2+1=…(k veces)=f(n)+k+1=f(n)+(k+1) Lo mismo que anterior se obtiene: (6) f(n+(k+1))=f(n)+(k+1) Que también se cumple, por lo que la expresión: (7) f(n+k)=f(n)+k Queda ciertamente demostrado. En el (3) hacemos n=0: (8) f(1)=f(0)+1 (9) f(0)=f(1)-1 Y haciendo lo mismo que lo anterior pero también… Lee más »