El campo de las funciones es un tema muy estudiado en Matemáticas, tanto en Bachillerato como en Universidad. En general podemos decir que conocemos la manera de calcular sus máximos y sus mínimos, el crecimiento o decrecimiento de las mimas en un cierto intervalo, dónde son derivables y dónde no lo son y muchos otros detalles. En Bachillerato no se suele ahondar mucho en funciones raras, es decir, funciones que suelen salirse de la generalidad en el sentido del estudio de sus características. En la Universidad sí que se comienzan a ver funciones que se salen de los patrones marcados en épocas de estudio anteriores. En este post vamos a ver tres funciones bastante curiosas al tener propiedades poco comunes.
Función de Dirichlet
La función de Dirichlet es una función real de variable real que no es continua en ningún punto de la recta. Se define de la siguiente forma:
Otra forma de definir esta función es la siguiente:
Vamos a demostrar que esta función no es continua en ningún punto usando la caracterización de continuidad por sucesiones, que dice lo siguiente:
Sea
una función real de variable real y sea
. Entonces f es continua en a si
sucesión de elementos de A tal que
se tiene que
Por tanto f no es continua en a si
sucesión de elementos de A tal que
pero
![]()
Sea . Por ser
denso en
se tiene que existirá una sucesión
tal que
. Y aquí está el problema: como
se tiene que
y como
se tiene que
. Por tanto
.
Al ser también denso en
la demostración para el caso
es análoga a la anterior. Por tanto f(x) no es continua en ningún punto.
En general, si en vez de tomar tomamos cualquier subconjunto
que sea denso en
tenemos una función que no es continua en ningún valor real.
Función popcorn
La función popcorn es una función real de variable real que es continua en los irracionales y discontinua en los racionales. Conocía la existencia de la misma pero no sabía que se denominaba así (¿alguien sabe por qué tiene ese nombre tan cinéfilo?). Se define de la siguiente forma:
Se asume que es irreducible y que
.
La demostración de este hecho es sencilla: como (a ver quién nos cuenta con un poco de rigor por qué es así), se tiene que
, y por tanto que f(x) es continua en
y no es continua en
.
Función de Weierstrass
La función de Weierstrass es una función real de variable real que es continua en todos los números reales pero no es derivable en ninguno de ellos. Su expresión es la siguiente:
con
.
La demostración de que es continua es todo punto es sencilla (otro ejercicio para vosotros). El tema de la no derivabilidad en ningún punto se complica algo más.
En su momento esta función fue muy importante ya que sirvió para que se dejara de creer que todas las funciones continuas eran derivables en todo punto excepto, a lo sumo, un conjunto de puntos aislados.
Conclusión
Como habéis podido ver con estos ejemplos nos podemos encontrar cualquier cosa en el estudio de las funciones. De todos modos estas tres seguro que no son las únicas. Por eso os pido que si tenéis conocimiento de alguna otra función concreta que sea famosa o interesante por alguna de las razones por las que éstas lo son lo comuniquéis mediante un comentario.
Fuentes:
- Función de Dirichlet en la Wikipedia (Inglés)
- Función Popcorn en la Wikipedia (Inglés)
- Función de Weierstrass en la Wikipedia (Inglés)
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Funciones “extrañas”…
[c&p] El campo de las funciones es un tema muy estudiado en Matemáticas, tanto en Bachillerato como en Universidad. En general podemos decir que conocemos la manera de calcular sus máximos y sus mínimos, el crecimiento o decrecimiento de las mim…
Respecto a la función popcorn: cómo se puede ver que lim f(x)=0 cuando x tiende a a, para cualquier valor de a, como refuerzo para entender correctamente el concepto de límite. Se trata de, para cualquier valor positivo, por pequeño que sea, precisar un entorno dentro del cual f(x) es menor que ese valor en cualquier punto (excepto, tal vez, en el punto a). Pues bien, si tenemos un valor, por pequeño que sea, existe un número r tal que 1/r es menor que ese, y entonces sabemos que nuestro valor a está entre dos números p/q y (p+1)/q para… Lee más »
Muy interesante este thread… supongo que estaría bueno que mostraras, también, como algunas funciones(como la Dirichlet) pueden ser integrables definiendo una medida conveniente y no ser integrables Riemann…
P.D.: Ahora que lo pienso sería muy lindo un buen thread sobre teoría de la medida 😉
Maxi lo sería, sin ninguna duda, pero es que el tiempo es escaso como podrás ver teniendo en cuenta la frecuencia de posteo que tengo. Tengo unos cuantos posts por ahí sin terminar que iré publicando cuando tenga tiempo suficiente. Todo se andará 🙂
Es bueno escuchar eso… 😀
Lo de que la función de Dirichlet es integrable en otras medidas es bastante avanzado, no? Dicen que Teoría de la Integral y de la Medida es de las más difíciles de la carrera… es cierto?
Una variante de la función de Dirichlet -la función popcorn también lo es- es contínua en un sólo punto: f(x)=x si x es irracional y f(x)=0 si x es racional. Obviamente es contínua en 0.
Hola. Aunque todas estas funciones patológicas son bien conocidas, desconocía y me parece muy interesante la relación de la función de Dirichlet con la función coseno a través de un límite doble. Es un ejercicio muy instructivo demostrar que esta relación es válida para todo
.
Me gustaría comentar lo siguiente acerca del post hecho por Ferruk… Desde mi punto de vista no es que el tema de la teoría de la medida sea, en sí mismo, más complejo que otros aspectos de la matemática; casi cualquier área de ésta permite complejizar tanto como se quiera. Sin embargo, lo que si es verdad es el cambio «paradigmático» que debe hacerse en su estudio. Es indiscutible que al estudiar en primera instancia la integrabilidad en el sentido Riemann o Cauchy logramos un convencimiento total en este sentido: las sumas de Riemann representan una suma algebráica en el… Lee más »
En honor a la verdad hay que decir que Cantor expresó «lo veo y no lo creo» al probar que el cuadrado unidad
(o más generalmente el hipercubo
) tiene la misma cardinalidad que el segmento [0,1]. De hecho se trabaja con el intervalo semiabierto. La demostración de este resultado es muy didáctica.
Por otro lado, la equivalencia del axioma de elección, el lema de Zorn y el axioma del buen orden (en la axiomática de Zermelo-Fränkel) es un tema de estudio muy recomendable. Ver por ejemplo el capítulo 7 de «La saga de los números» de Antonio Córdoba.
Saludos.
Domingo, gracias por la corrección… 😉
El foro está buenísimo!
Un hecho curioso que conecta la teoría de la medida y el axioma de elección es la existencia de conjuntos acotados en
no medibles. No obstante si lo que se acepta es la versión numerable del axioma de elección, entonces sí se puede asignar una medida a cada subconjunto acotado de
. No conozco la prueba de esta última afirmación, pero será cuestión de buscar por ahí en la bibliografía.
Bueno, creo que nos hemos desviado respecto al tema inicial.
Muchas gracias a todos por este pequeño acercamiento a la Teoría de la Medida (aunque pido perdón por haber hecho que nos alejemos tanto del tema principal del hilo). Este curso tengo la asignatura y por lo menos tengo la idea general de la misma en la cabeza. Gracias de verdad.
Ferruk.
Hola, retomo este post. En su momento no leí la cuestión final acerca de si conocíamos otros ejemplos. La cuestión es que en los últimos 200 años se han dado bastantes ejemplos curiosos (la mayoría bastante complejos) desde los trabajos pioneros de Bolzano hasta la actualidad. Aquí van algunos ejemplos de interés: 1) La función «no diferenciable» de Riemann, de 1860 aprox., Riemann creía que no era derivable en ningún punto, pero los trabajos de Hardy a principios de 1900 y finalmente J. Gerver en 1969, permitirían concluir que es continua en todo y derivable únicamente en los puntos de… Lee más »
Vaya, pues no sabía que había tantos ejemplos. Aunque tienen todos pinta de ser creados para la ocasión son bastante interesantes.
Me ha entrado curiosidad por lo que has comentado sobre la gráfica de una de ellas. ¿Cómo es?
me había despistado ^DiAmOnD^. Ahí va este enlace http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html
Muy curiosa la gráfica, sí señor.
No conocía el nombre de popcorn, pero si la función, que utilizo muchas veces en clase, en versiones de una y varias variables. Un versión teatralizada de la demostración: A- Yo te digo que si está cerca de , está cerca de cero. B- No lo creo. A- ¿Cómo de cerca quieres que esté de cero? ¿Te vale, por ejemplo, una milésima, 0.001? B- Para empezar, vale. A- ¿Qué puntos no cumplen que es menor que 0,001? B- Tiene que ser menor que 1, y mayor que 0,001. A- Luego . Sólo hay una cantidad finita de números racionales con… Lee más »
Función popcorn:
para cada x del dominbio de f. Aquí os dejo un vídeo que he hecho demostrando esto: https://www.youtube.com/watch?v=z8-a0aBtA84&t=920s