El campo de las funciones es un tema muy estudiado en Matemáticas, tanto en Bachillerato como en Universidad. En general podemos decir que conocemos la manera de calcular sus máximos y sus mínimos, el crecimiento o decrecimiento de las mimas en un cierto intervalo, dónde son derivables y dónde no lo son y muchos otros detalles. En Bachillerato no se suele ahondar mucho en funciones raras, es decir, funciones que suelen salirse de la generalidad en el sentido del estudio de sus características. En la Universidad sí que se comienzan a ver funciones que se salen de los patrones marcados en épocas de estudio anteriores. En este post vamos a ver tres funciones bastante curiosas al tener propiedades poco comunes.

Función de Dirichlet

La función de Dirichlet es una función real de variable real que no es continua en ningún punto de la recta. Se define de la siguiente forma:

\displaystyle f(x) = \begin{cases} 1,\mbox{ si }x\in\mathbb{Q} \\ 0,\mbox{ si }x\in\mathbb{R-Q}\end{cases}

Otra forma de definir esta función es la siguiente:

\displaystyle f(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)^{2j}\right)\right)

Vamos a demostrar que esta función no es continua en ningún punto usando la caracterización de continuidad por sucesiones, que dice lo siguiente:

Sea f:A\subseteq\mathbb{R}\Longrightarrow\mathbb{R} una función real de variable real y sea a\in A. Entonces f es continua en a si \forall x_n\subset A sucesión de elementos de A tal que x_n \rightarrow a se tiene que f(x_n) \rightarrow f(a)

Por tanto f no es continua en a si \exists x_n\subset A sucesión de elementos de A tal que x_n \rightarrow a pero f(x_n) \not\rightarrow f(a)

Sea a\in\mathbb{Q}. Por ser \mathbb{R-Q} denso en \mathbb{R} se tiene que existirá una sucesión x_n\subset\mathbb{R-Q} tal que x_n\rightarrow a. Y aquí está el problema: como x_n\subset\mathbb{R-Q} se tiene que f(x_n)=0,\forall n\in\mathbb{N} y como a\in\mathbb{Q} se tiene que f(a)=1. Por tanto f(x) \not\rightarrow f(a).

Al ser \mathbb{Q} también denso en \mathbb{R} la demostración para el caso a\in\mathbb{R-Q} es análoga a la anterior. Por tanto f(x) no es continua en ningún punto.

En general, si en vez de tomar \mathbb{Q} tomamos cualquier subconjunto A\subset\mathbb{R} que sea denso en \mathbb{R} tenemos una función que no es continua en ningún valor real.

Función popcorn

La función popcorn es una función real de variable real que es continua en los irracionales y discontinua en los racionales. Conocía la existencia de la misma pero no sabía que se denominaba así (¿alguien sabe por qué tiene ese nombre tan cinéfilo?). Se define de la siguiente forma:

\displaystyle f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{q},\mbox{ si }x=\cfrac{p}{q}\in\mathbb{Q} \\ 0,\mbox{ si }x\in\mathbb{R-Q} \end{cases}

Se asume que \frac{p}{q} es irreducible y que q>0.

La demostración de este hecho es sencilla: como \displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=0,\forall a\in\mathbb{R} (a ver quién nos cuenta con un poco de rigor por qué es así), se tiene que \displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\Leftrightarrow a\in\mathbb{R-Q}, y por tanto que f(x) es continua en x\in\mathbb{R-Q} y no es continua en x\in\mathbb{Q}.

Función de Weierstrass

La función de Weierstrass es una función real de variable real que es continua en todos los números reales pero no es derivable en ninguno de ellos. Su expresión es la siguiente:

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)

con 0<a<1, b\in\mathbb{Z}\mbox{ impar y }ab > 1+\frac{3}{2} \pi

.

La demostración de que es continua es todo punto es sencilla (otro ejercicio para vosotros). El tema de la no derivabilidad en ningún punto se complica algo más.

En su momento esta función fue muy importante ya que sirvió para que se dejara de creer que todas las funciones continuas eran derivables en todo punto excepto, a lo sumo, un conjunto de puntos aislados.

Conclusión

Como habéis podido ver con estos ejemplos nos podemos encontrar cualquier cosa en el estudio de las funciones. De todos modos estas tres seguro que no son las únicas. Por eso os pido que si tenéis conocimiento de alguna otra función concreta que sea famosa o interesante por alguna de las razones por las que éstas lo son lo comuniquéis mediante un comentario.

Fuentes:

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