Vamos con el problema semanal:
Dado
![0 < \alpha < 1[/latex], hallar todas las funciones continuas [latex]f:\; [0,1] \to \mathbb{R}[/latex] que cumplen lo siguiente: <p align="center">[latex]|f(x)-f(y)| \geq |x-y|^\alpha](https://s0.wp.com/latex.php?latex=0+%3C+%5Calpha+%3C+1%26%2391%3B%2Flatex%26%2393%3B%2C+hallar+todas+las+funciones+continuas+%26%2391%3Blatex%26%2393%3Bf%3A%5C%3B+%26%2391%3B0%2C1%26%2393%3B+%5Cto+%5Cmathbb%7BR%7D%26%2391%3B%2Flatex%26%2393%3B+que+cumplen+lo+siguiente%3A++++%3Cp+align%3D%22center%22%3E%5Blatex%5D%7Cf%28x%29-f%28y%29%7C+%5Cgeq+%7Cx-y%7C%5E%5Calpha&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "0 < \alpha < 1[/latex], hallar todas las funciones continuas [latex]f:\; [0,1] \to \mathbb{R}[/latex] que cumplen lo siguiente: <p align=\"center\">[latex]|f(x)-f(y)| \geq |x-y|^\alpha")
Ánimo y a por él.
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Hallemos la función
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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La función f ha de ser inyectiva ya que si , entonces de la desigualdad del enunciado se deduce que y, por tanto, . Consideremos la función inversa , que estará definida en un cierto intervalo compacto y toma valores en . Sustituyendo y para , tenemos que luego es fácil deducir que que es una igualdad válida para cualesquiera con luego, fijando el punto y tomando límite en cuando , el miembro de la derecha tiende a cero (ya que es estrictamente positivo) lo que nos dice que la función es derivable en todo punto de y su derivada… Lee más »
[…] Hallemos la funcióngaussianos.com/hallemos-la-funcion/ enviado por Facso […]
Muy buena, Manzano. Simplemente comentar que, de existir tal función, sería no derivable en todo punto. Hay (al menos) otra forma de probar que no existen tales funciones sin usar la inversa, pero sí que usa la monotonía de la función.
Una pregunta que me parece muy interesante a partir de este problema es si realmente es necesaria la hipótesis de continuidad. En otras palabras, ¿existe una función no continua verificando la desigualdad del enunciado? Está claro que en tal caso tiene que ser inyectiva y su inversa (que ahora estará definida en un conjunto que no tiene por qué ser un intervalo) sigue siendo derivable (en los puntos tales que exista una sucesión con ) y tiene derivada cero. Ahora bien, si contuviera algún intervalo podría razonarse que es constante en dicho intervalo y llegar a una contradicción. De hecho,… Lee más »
Manzano, aunque aún no tengo nada concluyente para tu cuestión, hay un hecho que me inclina a pensar que quitando la continuidad tampoco existe tal función. Es el siguiente:
la función tendría que ser totalmente discontinua en![[0,1]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B0%2C1%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "[0,1]")
y, lo que es más, la variación total de tal función en cualquier intervalo ![[a,b]\subset [0,1]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ba%2Cb%5D%5Csubset+%5B0%2C1%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "[a,b]\subset [0,1]")
sería infinita, ya que
Si eliminamos la condición de continuidad sobre la función también se deduce la imposibilidad de su existencia. Mi respuesta usa la condición de Hölder http://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6lder_condition (ver el tercer y el último ejemplo en el link). Si cumple la condición del enunciado, entonces su inversa (definida en la imagen de ) satisface la condición de Hölder con exponente >1. El asunto es que no tienen porqué contener intervalos. Sin embargo, se puede extender uniformemente a todo conservando la condición Hölder (con la misma constante y mismo exponente), es decir, existe tal que y , . Pero, dado que >1, esto implica… Lee más »
Muy bonita la demostración, M. Me ha gustado mucho este problema.