Comenzamos la semana con el tercer problema de la IMO 2011 celebrada en Amsterdam durante el mes de julio. Ahí va:
Sea
una función del conjunto de los números reales en sí mismo que satiface
para todo par de números reales
. Demostrar que
, para todo
.
Que se os dé bien.
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Comencemos:
entonces 
.
entonces sustituyendo 
.
, con lo que tenemos una cota superior, y como 
pero no puede ser mayor entonces 
.
si ponemos 
obtenemos 
como -x es positivo y 
entonces 
para todo 
.
Tenemos que
Por lo que
Tenemos también
Vaya, qué entretenida de leer la solución. Con estos problemas, sin entender demasiado a dónde van, la verdad, siempre me queda la cosa de si esa tal función existe.
Felix. ¿Dices que como
y como 
es una cota superior entonces 
es cero? A ese cuento le falta un pedazo, que tal que 
para todo 
real.
Y, así puesto no solo es, como mínimo para mi, el único punto oscuro en el mensaje de felix el que detalla yofo: -xf(x) + f(f(x)) <= -xf(x) (¿?) y también un poco más adelante menciona que f(x)<=0 sin decir cómo…. O no veo yo el cómo que también puede ser.
Ahora que me doy cuenta, yo tampoco sé de donde he sacado ese f(0)=0, que después también utilizo en
, espero que alguien pueda arreglar mi despiste y demuestre que f(0)=0, porque es lo único que falta.
Lo he conseguido resolver (lo que me ha llevado un simple f(0)=0). Tomando todas las lineas de mi primer comentario excepto las tres últimas. Ponemos c=f(f(0)) y tenemos que f(c)=c porque (basta con poner x=f(0)) y-x=c entonces por lo que con x=-1 tenemos , pero, con lo que y tenemos f(c-1)=0 , sustituyendo f(c-1)=0 nos da pero y entonces f(0)=c=f(f(0)) con lo que que solo es posible si c=0=f(0) y si x < 0 entonces (por la cota) y acabada la demostración. PD:¿Me podrías dar algún truco para la legibilidad de demostraciones tan largas como esta? PD2:Me pregunto si existe… Lee más »
Felix. Hay una línea que no entiendo, después de demostrar que
, dices que 
o dices que 
.
Si dices que
, entonces 
además, por la desigualdad en cuestión, 
. Pero conseguiste algo de este modo 
, como si 
.
Si dices que
entonces 
, pero 
no necesariamente es 
, además tendría de nuevo algo como que 
.
Lo que digo no es que te hayas equivocado, es que no entendí la notación, ahora, está muy bueno lo que hizo, muy chevere, bien interesante.
Quedo pendiente en la jugada.
Félix, pero mmm a ver, «basta con poner x=f(0)»,dices? Una indeterminada no es una constante, pero no solo eso, si pones eso ya estás ‘pidiendo el principio’ y encima lo estás pidiendo mal. Si pones x=f(0) pues hale, nos cargamos precisamente lo que diice el enunciado que hay que demostrar.
Así que o eso o aun entiendo menos de tu explicación. Encomiable esfuerzo sin embargo. No te desanimes
Maelstrom, Felix demostró que
(i)
en la ecuación del enunciado).
(ii) entonces
por (i) y aplicando de nuevo la desigualdad (i) tenemos
(iii)
o si tomamos 
(iv)
Por tanto 
(por ejemplo escogiendo
También demostró que
renombrando
y renombrando en (ii) también tenemos
Juntando (iii) y (iv)
Yofo, como c es el máximo,
Mi demostración me resulta larga, ¿alguien podría acortarla?
f(x)= 0 para todo x<=0 f(x+y)<= yf(a)+ff(a)<= 0+f(0)= 0 [1] para todo x<=0. ** Supongamos que f(x)= a, x<=0, siendo a€R\{0} f(x+y)<= ay+f(a)<= ay+a= a(1+y) ** Luego, para que se verifique [1], a(1+y)= 0; se ve que esto se cumple si y sólo si y= -1, pues la suposición (que es una reducción al absurdo) es que f(x)= a, x<=0, siendo a€R\{0}. ** Esto contradice al enunciado, pues si f(x) no es igual a cero, la única forma de mantener la desigualdad es con y= -1. (algo me dice que me he pasado por lo alto un paso, pero, bueno,… Lee más »
Sebastian Que más sebastian. Primero, ¿Qué es ?. Segundo, mostraste que y que , pero eso no implica que . Ejemplo: la expresión , siempre es menor o igual que , luego, , además siempre es menor que cero, luego , pero Por otro lado. Es claro que para todo real ;). Entonces la desigualdad se puede escribir de esta forma Ahora, , usando la desigualdad de arriba: De nuevo, , usando la desigualdad: . Combinando obtenemos . Hemos mostrado que para todo real, , por otro lado, Felix mostró que para todo real. De modo que para todo real,… Lee más »
Bueno, algo sucede y los
, deberían ser un signo de menor o igual. En el ‘Preview’ salía bien pero ahora sale mal y no me deja editarlo.
ZetaSelberg, arreglado :).
El problema es que al editar un comentario se borra una \. Lo que hay que hacer es escribir dos \, para que al borrarse una quede la otra.
Y sí, efectivamente me equivoqué…
para 
positivo y cero en los negativos es un ejemplo 🙁 lo que hace el trasnochar.
@ZetaSelberg
¿Cómo que ‘qué más’? He intentado resolver un ejercicio y ya está. De eso se trata, ¿no? Por lo que agradecería que ciertos tintes arrogantes de tu respuesta te los ahorrases para futuros mensajes, si los hay. Saludos ‘campeón’.
http://math.stackexchange.com/questions/52447/the-easy-part-of-imo-2011-problem-3
Sebastián. No sé con exactitud qué entendíste, pero yo soy de Colombia, y en Colombia un saludo común es «Que más» o «Que tal» o «Como va» o «Que dice» o «Que cuenta» o «Tónces» (Una especie de «Entonces» acortado).
En lo más mínimo intenté insultarlo o mostrar arrogancia. Cuando dije «Que más Sebastian» te estaba dando un saludo.
Le pido disculpas si en algún momento se sintió ofendido, no es mi intención. De igual forma trataré de usar un vocabulario no tan regionalista en mis comentarios, para evitar este tipo de situaciones ;).
Cordial saludo.
@ZetaSelberg
No hay problema, hombre. Son las imperfecciones del lenguaje; yo no lo sabía ni tú tampoco 😉
Un cordial saludo.
ZetaSelberg | 11 de August de 2011 | 17:43
con lo que concluyes se puede ademas concluir que f(x)=0 para todo x
o me equivoco?