IMO 2011 en Amsterdam – Problema nº 3

Publicado por ^DiAmOnD^ | 8 agosto, 2011 | Juegos, notop | 20 |

Comenzamos la semana con el tercer problema de la IMO 2011 celebrada en Amsterdam durante el mes de julio. Ahí va:

Sea $f$ una función del conjunto de los números reales en sí mismo que satiface

$f(x+y) \le y f(x)+f(f(x))$

para todo par de números reales $x,y$ . Demostrar que $f(x)=0$ , para todo $x \le 0$ .

Que se os dé bien.

0 0 votes

Article Rating

¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉

Comparte:

Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Name*

Email*

Website

20 Comments

más antiguo

más reciente más votado

Inline Feedbacks

View all comments

Bitacoras.com

08/08/2011 12:33

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Comenzamos la semana con el tercer problema de la IMO 2011 celebrada en Amsterdam durante el mes de julio. Ahí va: Sea una función del conjunto de los números reales en sí mismo que satiface para todo par de números real……

Responde

Félix

08/08/2011 17:47

Comencemos:
$f(x)=f(x+0) \le f(f(x))$ entonces $f(f(x)) \le f(f(f(x)))$ .
Tenemos que $f(f(x))=f(f(x)+0) \le f(x)f(0)+f(f(0))$ entonces sustituyendo $f(x+y) \le yf(x)+f(f(x)) \le f(x)(y+f(0))+f(f(0))$ .
Por lo que $f(x-f(0)) \le f(f(0))$ , con lo que tenemos una cota superior, y como $f(f(0)) \le f(f(f(0)))$ pero no puede ser mayor entonces $f(0)=0$ .
Tenemos también $f(0)=0=f(x-x) \le -xf(x)+f(f(x)) \le -xf(x)$ si ponemos $x < 0$ obtenemos $0 \le -xf(x)$ como -x es positivo y $f(x) \le 0$ entonces $f(x)=0$ para todo $x \le 0$ .

Responde

perhombre

08/08/2011 22:21

Vaya, qué entretenida de leer la solución. Con estos problemas, sin entender demasiado a dónde van, la verdad, siempre me queda la cosa de si esa tal función existe.

Responde

Yofo

09/08/2011 02:08

Felix. ¿Dices que como $f(f(0))\leq f(f(f(0)))$ y como $f(f(0))$ es una cota superior entonces $f(0)$ es cero? A ese cuento le falta un pedazo, que tal que $f(x)=\pi$ para todo $x$ real.

Responde

Maelstrom

09/08/2011 07:52

Y, así puesto no solo es, como mínimo para mi, el único punto oscuro en el mensaje de felix el que detalla yofo: -xf(x) + f(f(x)) <= -xf(x) (¿?) y también un poco más adelante menciona que f(x)<=0 sin decir cómo…. O no veo yo el cómo que también puede ser.

Responde

Félix

09/08/2011 11:46

Ahora que me doy cuenta, yo tampoco sé de donde he sacado ese f(0)=0, que después también utilizo en $f(x) \le f(f(0))=0$ , espero que alguien pueda arreglar mi despiste y demuestre que f(0)=0, porque es lo único que falta.

Responde

Félix

09/08/2011 18:10

Lo he conseguido resolver (lo que me ha llevado un simple f(0)=0). Tomando todas las lineas de mi primer comentario excepto las tres últimas. Ponemos c=f(f(0)) y tenemos que f(c)=c porque (basta con poner x=f(0)) y-x=c entonces por lo que con x=-1 tenemos , pero, con lo que y tenemos f(c-1)=0 , sustituyendo f(c-1)=0 nos da pero y entonces f(0)=c=f(f(0)) con lo que que solo es posible si c=0=f(0) y si x < 0 entonces (por la cota) y acabada la demostración. PD:¿Me podrías dar algún truco para la legibilidad de demostraciones tan largas como esta? PD2:Me pregunto si existe… Lee más »

Responde

Yofo

10/08/2011 04:35

Felix. Hay una línea que no entiendo, después de demostrar que $f(c)=c$ , dices que $y-x=c$ o dices que $-x=c$ .

Si dices que $y-x=c$ , entonces $f(y-x)=f(c)=c$ además, por la desigualdad en cuestión, $f(y-x)\leq (-x)f(y)+f(f(y))$ . Pero conseguiste algo de este modo $f(y-x)\leq (-x)f(y)+c$ , como si $f(f(y))=c$ .

Si dices que $-x=c$ entonces $f(y-x)=f(y+c)\leq (-x)f(y)+f(f(y))$ , pero $f(x-y)$ no necesariamente es $c$ , además tendría de nuevo algo como que $f(f(y))=c$ .

Lo que digo no es que te hayas equivocado, es que no entendí la notación, ahora, está muy bueno lo que hizo, muy chevere, bien interesante.

Quedo pendiente en la jugada.

Responde

Maelstrom

10/08/2011 09:31

Félix, pero mmm a ver, «basta con poner x=f(0)»,dices? Una indeterminada no es una constante, pero no solo eso, si pones eso ya estás ‘pidiendo el principio’ y encima lo estás pidiendo mal. Si pones x=f(0) pues hale, nos cargamos precisamente lo que diice el enunciado que hay que demostrar.
Así que o eso o aun entiendo menos de tu explicación. Encomiable esfuerzo sin embargo. No te desanimes

Responde

JavierH

10/08/2011 11:12

Maelstrom, Felix demostró que
$f(x)\le f(f(x)), \forall x$ (i)
(por ejemplo escogiendo $y=0$ en la ecuación del enunciado).
También demostró que $f(x-f(0))\le f(f(0))$ (ii) entonces
$f(0)\le f(f(0))$ por (i) y aplicando de nuevo la desigualdad (i) tenemos
$f(f(0))\le f(f(f(0)))$
renombrando $c=f(f(0))$
$c\le f(c)$ (iii)
y renombrando en (ii) también tenemos
$f(x-f(0))\le c$ o si tomamos $x'=x-f(0) \Rightarrow f(x')\le c, \forall x' \in R$ (iv)
Juntando (iii) y (iv)
$c\le f(c) \le c$ Por tanto $c=f(c)$

Responde

Félix

10/08/2011 11:28

Yofo, como c es el máximo, $f(y-x) =f(c)=c \le -xf(y)+f(f(y)) \le -xf(y)+c$

Mi demostración me resulta larga, ¿alguien podría acortarla?

Responde

Sebastián

11/08/2011 13:45

f(x)= 0 para todo x<=0 f(x+y)<= yf(a)+ff(a)<= 0+f(0)= 0 [1] para todo x<=0. ** Supongamos que f(x)= a, x<=0, siendo a€R\{0} f(x+y)<= ay+f(a)<= ay+a= a(1+y) ** Luego, para que se verifique [1], a(1+y)= 0; se ve que esto se cumple si y sólo si y= -1, pues la suposición (que es una reducción al absurdo) es que f(x)= a, x<=0, siendo a€R\{0}. ** Esto contradice al enunciado, pues si f(x) no es igual a cero, la única forma de mantener la desigualdad es con y= -1. (algo me dice que me he pasado por lo alto un paso, pero, bueno,… Lee más »

Responde

ZetaSelberg

11/08/2011 17:43

Sebastian Que más sebastian. Primero, ¿Qué es ?. Segundo, mostraste que y que , pero eso no implica que . Ejemplo: la expresión , siempre es menor o igual que , luego, , además siempre es menor que cero, luego , pero Por otro lado. Es claro que para todo real ;). Entonces la desigualdad se puede escribir de esta forma Ahora, , usando la desigualdad de arriba: De nuevo, , usando la desigualdad: . Combinando obtenemos . Hemos mostrado que para todo real, , por otro lado, Felix mostró que para todo real. De modo que para todo real,… Lee más »

Responde

ZetaSelberg

11/08/2011 17:48

Bueno, algo sucede y los $leq$ , deberían ser un signo de menor o igual. En el ‘Preview’ salía bien pero ahora sale mal y no me deja editarlo.

Responde

gaussianos

Admin

11/08/2011 18:04

ZetaSelberg, arreglado :).

El problema es que al editar un comentario se borra una \. Lo que hay que hacer es escribir dos \, para que al borrarse una quede la otra.

Responde

ZetaSelberg

11/08/2011 18:17

Y sí, efectivamente me equivoqué… $f(x)=-e^{x}$ para $x$ positivo y cero en los negativos es un ejemplo 🙁 lo que hace el trasnochar.

Responde

Sebastián

11/08/2011 19:40

@ZetaSelberg

¿Cómo que ‘qué más’? He intentado resolver un ejercicio y ya está. De eso se trata, ¿no? Por lo que agradecería que ciertos tintes arrogantes de tu respuesta te los ahorrases para futuros mensajes, si los hay. Saludos ‘campeón’.

Responde

hernan

11/08/2011 22:45

http://math.stackexchange.com/questions/52447/the-easy-part-of-imo-2011-problem-3

Responde

ZetaSelberg

11/08/2011 23:12

Sebastián. No sé con exactitud qué entendíste, pero yo soy de Colombia, y en Colombia un saludo común es «Que más» o «Que tal» o «Como va» o «Que dice» o «Que cuenta» o «Tónces» (Una especie de «Entonces» acortado).

En lo más mínimo intenté insultarlo o mostrar arrogancia. Cuando dije «Que más Sebastian» te estaba dando un saludo.

Le pido disculpas si en algún momento se sintió ofendido, no es mi intención. De igual forma trataré de usar un vocabulario no tan regionalista en mis comentarios, para evitar este tipo de situaciones ;).

Cordial saludo.

Responde

Sebastián

12/08/2011 11:01

@ZetaSelberg

No hay problema, hombre. Son las imperfecciones del lenguaje; yo no lo sabía ni tú tampoco 😉

Un cordial saludo.

Responde

dudon

11/12/2011 23:34

ZetaSelberg | 11 de August de 2011 | 17:43

con lo que concluyes se puede ademas concluir que f(x)=0 para todo x
o me equivoco?

Responde

Buscar

La Tostadora

Suscríbete por mail

Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail haz click en la imagen.

Últimas entradas

Últimos comentarios

Gaussianos en Facebook

Yo construí el poliedro de Császár

Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.

Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.