Vamos con el problema semanal. Ahí va:
Encuentra todos los enteros positivos
que cumplen que
es un número entero.
A por él.
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n=1 o n=3. No hay más
Estoy de acuerdo. Representando f(x) = 2^x + 1 y g(x) = n x^2, con n entero, y buscando los puntos de intersección (dos en la mayoría de los casos) se ve bastante bien.
al igual que las dos personas de arriba encontré que 1 y 3 son la solución o parte de la solución de la ecuación, creo hay algunos hecho a tomar en cuenta antes de generalizar las soluciones y son las siguientes: \item 2^n>n^2 hecho que se prueba por inducción \item debemos ver la paridad de ambos números ya que 2^n es par para todo numero entero, mientras que n^2 puede ser par o impar. . ante la presencia de 1 en la ecuación esto nos indica que deben ser de distinta paridad, lo que obliga a que n siempre debe… Lee más »
A falta de demostración formal y dando ya por evidentes los casos n=1,3 lo que sí es fácil de probar es que si n es primo es imposible. También es fácil de ver que el cociente no puede ser un cuadrado (aunque vale de más bien poco). También está claro que módulo n sólo no va a ser suficiente (la congruencia correspondientela verifican infinitos valores de n).
So fuera el caso de que n primo entonces impossible salta la pregunta the refieres a los primos distintos a 3? Poor que una de las soluciones es 3 el cual evidentemente es primo, lo que so she puede ver as que n nun a puede ser par ya que all dividir par poor par nun a obtenemos residuo 1
Dije que ya dando por válidas las de n=1,3 no puede ser n primo. En los comentarios que hice obvié en todas los casos n=1,3 porque ya los daba por conocidas. Interprétense como la condición que sea (y no sea con n=1,3).
A mí esto me suena a una generalización del teorema de Fermat (teorema de Carmichael, según la wikipedia). De hecho, creo que se deduce directamente de ahí que no hay solución para n>3.
El caso
es trivial, supongamos que 
luego 
con los 
primos diferentes, es suficiente verificar que la congruencia 
tiene solución; es decir 
, por el teorema chino de los restos es suficiente mirar la congruencia 
para cada 
ya que 
para 
. Ahora: si 
entonces 
pero por el pequeño teorema de Fermat 
donde 
es decir 
luego 
y entonces se tiene que 
con 
entero. falta probar que para 
la ecuación no tiene solución en enteros
No me cuadra el paso en el que aplicas el Teorema Chino de los Restos (al menos con la formulación que yo conozco). Podrías detallar esa parte más? Yo del Teorema Chino de los Restos lo único que saco es que al ser corpimos los números que tu dices esa congruencia equivale a un sistema de ellas en módulo p_i^2 (pero no sabría decir la forma de la congruencia), pero no veo de donde sacas que la congruencia sea 2^pi = -1.
Es más fácil de probar. Es un «descensus ad inferos» (sobre potencias de dos, para pares es trivial que no se cumple)
Y no doy más pistas 🙂
Si nadie lo publica antes, intento escribirlo mañana en un hueco, si lo encuentro
Ahora que mencionad ese hecho, me viene a la mente un metodo descrito en Higher arithmetic escrito por Davenport, en el cual explica un metodo para factorial un numero como producto de primos hace uso de cuadrados.
Yo tengo algo. Pero hay mal algo en la demostración puesto que no me salta el error n=3. No sé si el fallo es una chorrada de consideración o la lié en algo gordo y la demostración no vale para nada. Supongamos que en efecto 2^n = -1 (mod n^2) Sabemos por el teorema de Euler que como n no podía ser par 2^phi(n^2)=1 (mod n^2) Como phi(n^2)=n*phi(n) Sumando ambas expresiones que 2^n(1+2^(n*(phi(n)-1))) es múltiplo de n^2 como n no era par sacamos 2^(n*(phi(n)-1)) = -1 (mod n^2) 2^n = 1 (mod n^2) Repitiendo lo de sumar y factorizar llegamos… Lee más »
Nada ya está. Hay un signo cambiado la segunda vez que hago la suma. No vale.
Buenas noches, ante la falta de claridad y errores de escritura en mi comentario anterior he decido exponer mis ideas nuevamente, pido disculpas por la extensión de la prueba pues no descarto la posibilidad de una más elegante. Sin más preámbulos ahí les va: Está claro que para encontrar solución en los enteros es suficiente con hallar las soluciones de la congruencia: , entonces se tienen las siguientes afirmaciones: es impar si fuera par entonces también sería par, pero es impar luego no divide a . si entonces la congruencia: claramente implica la congruencia luego aplicando veces el pequeño teorema… Lee más »
como antes se tiene que implica pues siguiendo con los razonamientos como antes se tiene: si es por que bien ó bien con y para todo , donde además para algún o bien aplicando el mismo razonamiento pero ahora con la tupla tantas veces como sea necesario se tiene que al menos un se ha reducido a en donde aplicamos la hipótesis de inducción (pues tiene un factor primo menos) y se tiene la contradicción o se ha reducido a 0, en este último caso tendríamos una congruencia del tipo : y vamos a probar ahora que este caso se… Lee más »
Me he basado en la pista que dio «josera». Empezamos con que la expresión 1) debe cumplirse para k y n enteros positivos. Es trivial que tanto k como n deben ser impares por lo que podemos escribir y . Para o conocemos las soluciones, así que vamos a suponer que y y vamos a ver si hay alguna solución que pueda cumplir estas condiciones. Si sustituimos las expresiones de k y n en la expresión 1) y operamos obtenemos 2) De esta expresión se deduce que debe ser par y debe ser divisible entre 4. Por tanto y .… Lee más »
Dices:
De esta expresión se deduce que
debe ser par y 
debe ser divisible entre 4.
¿Puedes explicar por qué?
Me acabo de dar cuenta de que la demostración está mal. Golvano, ese paso que preguntas es el que falla. Pensé que lo tenía.
Me parece que lo tengo: Partimos de , con n y K naturales. Reescribimos n y K de otro modo: ; ; ; ; Sustituimos n y K por sus expresiones y obtenemos: Para abreviar lo expresaremos así: Ahora el razonamiento es el siguiente: la expresión anterior es una suma de potencias de 2. Una suma de potencias de 2 no puede dar como resultado una potencia de 2 () a no ser que los exponentes de los sumandos sean todos iguales. Si nos fijamos en los tres últimos sumandos, se observa que la única forma de que todos tengan… Lee más »
Faltaba añadir que
y 
Estoy intrigado por los + 1 que salen de poner n y K en su forma binaria. También me intriga la frase de que una suma de potencias de 2 no da como resultado otra potencia de 2 (cierto) a no ser que los exponentes de dichos sumandos sean iguales (????? No tiene por qué, según mi parecer, ejemplo: 2^k + 2^k + 2^k = 3·2^k… Si el número de sumandos fuera una potencia de 2 aún). Luego de ahi, además tomas porque sí los tres últimos sumandos. Finalmente, también hay varias afirmaciones sobre Mn o Mk sin demostrar, etc.… Lee más »
Featuring, me explico: los +1 son porque tanto n como K deben ser impares. Lo explican más arriba pero es fácil de ver que si uno de los dos (o ambos) fueran pares sería impar y no podría ser igual a una potencia de 2. En lo segundo que dices llevas razón. Quizá me explique mejor si digo que una condición NECESARIA para que una suma de potencias de dos de como resultado una potencia de dos es que todas tengan el mismo exponente. Es decir, que si encontramos una prueba de que no se cumple esa condición estaremos seguros… Lee más »
Miguel Angel, tu «condición NECESARIA para que una suma de potencias de dos de como resultado una potencia de dos es que todas tengan el mismo exponente» no parece creíble: 2^2+2^2+2^3=2^4. O algo no he entendido o tu redacción de la condición es errónea o incompleta.
JJGJJG, tienes razón. Me lo voy a mirar con más calma.
Definitivamente, está mal.
Los únicos valores posibles para n son 1 y 3, aquí va mi solución: asumimos que n > 1. Decir que sea un natural es equivalente a decir que Ahora utilizamos tres observaciones: 1. n ha de ser IMPAR, de otra manera el cociente no podría ser un natural al ser impar el numerador. 2. n, natural positivo, siempre divide a (seguro?) 3. es par. Con estas tres observaciones queda claro que ya que . Ahora veremos que, además de la solución trivial, la única solución es n = 3. la factorización en números primos para n. Entonces Observamos que… Lee más »
Danielsan, no necesariamente
implica 
Si pudiésemos demostrar que el orden de 2 en
es 
, entonces tendríamos 
.
No es verdad que el orden de 2 en
sea 
. Por ejemplo, para n=7, el orden de 2 es 21, no 42.
Tienes razón Golvano, pero me refiero a los n del problema
Es verdad Karl, muchas gracias.
es el orden de todo el grupo… Vaya, qué desilusión 🙁
He asumido que el orden de 2 en
Ok, la verdad renuncie a seguir intentándolo así que lo busque en la web y resulta ser un problema de la IMO (1990)
Si alguien más se rinde en dar una solución por su propia cuenta, aquí hay una solución en la pagina 33
http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/SatoNT.pdf