Terminamos hoy la serie de problemas propuestos en la IMO 2011 celebrada en Amsterdam durante el mes de julio. Aquí está el enunciado del sexto y último:
Sea
un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es
. Sea
una recta tangente a
y
las rectas que se obtienen al reflejar
y
, respectivamente. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las rectas
y
A por este último problema.
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El enunciado del problema no está completo. El problema original, además, pedía construir un reactor nuclear de fusión con un botellín de cerveza y un martillo 😛
Me parece que este problema es para fede.
Pues sí Sive, me da que este problema es para el crack de la geometría de Gaussianos :).
Sive, gracias, el problema me parece interesante, pero difícil.
Lo empecé a mirar, pero no he llegado a nada. Lo dejo. 🙂
Bufff, pues si fede lo deja…mal rollo…
Esta es la clase de problemas que cuando las ves mientras estás concursando, te entran ganas de ponerte a jugar al 3 en raya con el compañero de al lado. A ver quién puede atacarlo.
Creo que he encontrado una demostración más fácil que las que he visto por ahí. Pistas: Lema 1: http://img191.imageshack.us/img191/7059/imo200116l1.png Sean 2 rectas r,s que se cortan en un punto A. Sea una recta h que corta a r y s en y . Sean y las rectas resultado de reflejar la recta h sobre r y s respectivamente. Sea X el punto de intersección de y . Entonces: , como ángulos orientados (por tanto en ángulos usuales). Lema 2: http://img15.imageshack.us/img15/9727/imo200116l2.png Sea P un punto exterior a una circunferencia. Sea r una recta que pasa por P y corta a la… Lee más »
Yo estaba por el siguiente camino, no se si conduce a la demostracion, he quedado estancado:
1º Los ángulos del triángulo resultante unicamente dependen de los ángulos del triangulo del enunciado
2º El incentro del triángulo resultante esta sobre el circuncentro del triángulo dado
3º Los vértices del triángulo del enunciado estan sobre las bisectrices del resultante
Pensé que tenía una simplificación de la ‘solución oficial 1’, pero, tras revisar, no es válida. De momento no he encontrado una demostración nueva.
Sebas, tus resultados 2º y 3º son usados, por ejemplo, en la primera solución oficial.
Gracias fede, ignoraba si mis deducciones me servirian para algo pues he quedado atascado, esto me anima a seguir, pero no soy optmista
Mis deducciones de 2º y 3º son consecuencia de 1º
Saludos
Amigo fede, espero tu opinión como me animaste antes
Con 1º, 2º y 3º llego a la conclusión de que existe un punto en cada una de las circunferencias circunscritas que estan alineados con los centros, que por arcos capaces tienen que ser el mismo punto. Creo que me he desatascado
Saludos
Sebas, no pretendía animarte ni desanimarte. Yo todavía no he estudiado en detalle las soluciones que he visto en la red.
Hay que tener en cuenta que tradicionalmente el problema 6 es el más difícil y que, de un total de 564 participantes, solo 2 chicas (de Alemania e Irán) y 4 chicos (de Grecia, China, Singapur y Hongkong), consiguieron resolverlo, lo que se menciona en el siguiente enlace, donde se da otra solución que usa alguno de tus resultados.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/OIM2011.pdf
Gracias fede: He mirado (no a fondo evidentemente) la solución del enlace, veo que tambien es larga y hay que seguirla con atención. Dista de la mia, tambien larga y fecilmente me despisto, me he pasado bastantes horas frente al AutoCad trazando rectas, si bien compruebo que mis deducciones son correctas mucho me temo que algun paso (de tantos) lo de por supesto y no lo demuestre correctamente.
Hay que inclinarse frente a los OLIMPICOS
Gracias por el tiempo que te he robado y la atención que has tenido conmigo
Saludos