La pasada semana se celebró en Río de Janeiro la edición 58 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. En ella, el equipo español ha obtenido tres Medallas de Bronce y dos Menciones Honoríficas (se dan a quienes hacen algún problema bien entero pero no entran en medallas).

Hoy os traigo el problema número 3. Y quiero plantearos este problema porque parece que ha sido especialmente complicado para los chicos y chicas que han competido en esta edición. Tan difícil les ha resultado que solamente dos personas lo han resuelto completamente. De hecho, la mayoría de los participantes han sacado una puntuación de 0 en este problema, algo que no es para nada habitual.

A ver si por aquí somos capaces de resolverlo. Como siempre, espero que nadie haga trampas y busque la solución por internet (seguro que ya está por ahí). Lo interesante es que lo intentemos resolver aquí sin mirar ninguna solución. Bueno, ahí va:

Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclídeo. El punto de partida A_0 del conejo y el punto de partida B_0 del cazador son el mismo. Después de n-1 rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto A_{n-1} y el cazador en el punto B_{n-1}. En la n-ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden:

  1. El conejo se mueve de forma invisible a un punto A_n tal que la distancia entre A_{n-1} y A_n es exactamente 1.
  2. Un dispositivo de rastreo reporta un punto P_n al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre P_n y A_n es menor o igual que 1.
  3. El cazador se mueve de forma visible a un punto B_n tal que la distancia entre B_{n-1} y B_n es exactamente 1.

¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera en que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador pueda escoger sus movimientos de modo que después de 10^9 rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual que 100?

Hala, ahí lo dejo. A por él.

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