De nuevo tenemos problema de la Olimpiada Matemática Internacional (IMO, según sus siglas en inglés). Hoy le toca al quinto de los seis problemas que se han propuesto en la de este año 2019, celebrada en Bath (Reino Unido).

Ahí va:

El Banco de Bath emite monedas con una H en una cara y una T en la otra. Harry tiene n monedas de este tipo alineadas de izquierda a derecha. Él realiza repetidamente la siguiente operación: si hay exactamente k > 0 monedas con la H hacia arriba, Harry voltea la moneda k-ésima contando desde la izquierda; en caso contrario, todas las monedas tienen la T hacia arriba y él se detiene. Por ejemplo, si n=3 y la configuración inicial es THT, el proceso sería

THT \rightarrow HHT \rightarrow HTT \rightarrow TTT,

que se detiene después de tres operaciones.

a) Demostrar que, para cualquier configuración inicial que tenga Harry, el procso se detiene después de un número finito de operaciones.

b) Para cada configuración inicial C, sea L(C) el número de operaciones que se realizan hasta que Harry se detiene. Por ejemplo, L(THT)=3 y L(TTT)=0. Determinar el valor promedio de L(C) sobre todas las 2^n posibles configuraciones iniciales de C.

A por él.


Recuerdo que la idea de publicar estos problemas es que los intentemos resolver nosotros, no que alguien busque la solución en internet y la copie aquí. Confío en vuestro buen criterio en este sentido.

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