Os dejo el problema semanal:
Sea una función
con derivada
continua y absolutamente integrable, es decir:
Calcular el valor de la integral
para
.
Ánimo y a por él
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$
.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Aun estoy con las derivadas 😉
Buenas HaunteR. Ánimo con esas derivadas, verás que luego es todo más fácil de lo que parece :).
Ya estoy muy oxidado con esto, pero me recuerda mucho a Transformada de Laplace
La solución es
.
Muy buena, Zelig. ¿Te apetece explicarla?
buen, estoy un poquitin oxidado pero creo que la solución se haya de la siguiente forma
1. hago un reemplazo de variable para el limite superior de la integral es decir: la defino como

2. Separamos los términos de la integral

y desde ahi no recuerdo mas…
lo otro que se me ocurre es intergar por partes, entonces tengo que:
y por ahi se va…
termina siendo esto:
![[f(\alpha x)-f(\beta x)]*ln(x)-\int_{0}^{\infty}\ln (x)[f^\prime(\alpha x)-f^\prime(\beta x)] dx [f(\alpha x)-f(\beta x)]*ln(x)-\int_{0}^{\infty}\ln (x)[f^\prime(\alpha x)-f^\prime(\beta x)] dx](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Bf%28%5Calpha+x%29-f%28%5Cbeta+x%29%5D%2Aln%28x%29-%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cln+%28x%29%5Bf%5E%5Cprime%28%5Calpha+x%29-f%5E%5Cprime%28%5Cbeta+x%29%5D+dx&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
por ahora eso es lo que se me ocurre
Como bien dice Zelig, la solución es
. Para mostrar esto, sólo necesitamos utilizar el teorema fundamental del cálculo para escribir



es absolutamente integrable, y

Así, tenemos
donde hemos utilizado el teorema de Fubini para intercambiar las integrales. El resultado se sigue de observar que
el límite existe porque
Esta integral es importante en análisis de Fourier. Se utiliza, por ejemplo, para calcular el multiplicador de un operador integral con núcleo homogéneo (Stein, E. M., Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, p. 41).
Esta integral se conoce por ahí como la integral de Frullani.
Efectivamente, se suele resolver por ahí usando integración en dos variables y el teorema de Fubini. Sin embargo, se puede ver de modo más sencillo (aunque la esencia es la misma, tal vez sea más adecuado para quienes no conocen integración en dos variables):
Sea
, para
.
Derivando vemos que
, y entonces
, con
a determinar. Ya que
, obtenemos directamente el resultado que bien habían indicado Zelig y Ricardos.
se me coló
, cuando debe ser simplemente
constante :S
Te lo quito ahora mismo :).