Calculemos la integral

Publicado por ^DiAmOnD^ | 28 abril, 2009 | Juegos | 11 |

Os dejo el problema semanal:

Sea una función $f:[0,+\infty) \to\mathbb{R}$ con derivada $f^\prime$ continua y absolutamente integrable, es decir:

$\displaystyle{\int_0^{+\infty}} |f^\prime(x)| dx < \infty$

Calcular el valor de la integral

$\displaystyle{\int_0^{+\infty}} \cfrac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx$

para $\alpha\geq\beta > 0$ .

Ánimo y a por él

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Bitacoras.com

28/04/2009 09:01

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema semanal: Sea una función con derivada continua y absolutamente integrable, es decir: Calcular el valor de la integral para . Ánimo y a por él…

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HaunteR

28/04/2009 11:13

Aun estoy con las derivadas 😉

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^DiAmOnD^

28/04/2009 14:09

Buenas HaunteR. Ánimo con esas derivadas, verás que luego es todo más fácil de lo que parece :).

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Jones, Francisco

28/04/2009 14:27

Ya estoy muy oxidado con esto, pero me recuerda mucho a Transformada de Laplace

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Zelig

28/04/2009 15:40

La solución es $\left[f(0)-\lim_{x\to\infty}f(x)\right]\ln(\beta/\alpha)$ .

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28/04/2009 15:46

Muy buena, Zelig. ¿Te apetece explicarla?

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Juanma

28/04/2009 19:11

buen, estoy un poquitin oxidado pero creo que la solución se haya de la siguiente forma

1. hago un reemplazo de variable para el limite superior de la integral es decir: la defino como
$\lim_{b \to \infty}\int\limits_{0}^{b} \tfrac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}, dx$

2. Separamos los términos de la integral
$\lim_{b \to \infty}\int\limits_{0}^{b} \tfrac{f(\alpha x)}{x}, dx- \lim_{b \to \infty}\int\limits_{0}^{b}\tfrac {f(\beta x)}{x}, dx$

y desde ahi no recuerdo mas…

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Juanma

28/04/2009 19:31

lo otro que se me ocurre es intergar por partes, entonces tengo que:

$U=f(\alpha x)-f(\beta x)$
$dv=\tfrac {1}{x}*dx$
$V=\ln (x)$

y por ahi se va…

termina siendo esto:
$[f(\alpha x)-f(\beta x)]*ln(x)-\int_{0}^{\infty}\ln (x)[f^\prime(\alpha x)-f^\prime(\beta x)] dx$

por ahora eso es lo que se me ocurre

Responde

Ricardos

28/04/2009 20:50

Como bien dice Zelig, la solución es $\big( f(0) - \lim_{t\to\infty} f(t) \big) \log(\beta/\alpha)$ . Para mostrar esto, sólo necesitamos utilizar el teorema fundamental del cálculo para escribir
$\displaystyle f(\alpha x)-f(\beta x) = -\int_\alpha^\beta f\prime(t x) x dt.$
Así, tenemos
$\displaystyle \int_0^\infty \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} dx = \int_0^\infty \frac{1}{x}\int_\alpha^\beta -f^\prime(tx)xdt dx = \int_\alpha^\beta -\int_0^\infty f^\prime(tx) dx dt,$
donde hemos utilizado el teorema de Fubini para intercambiar las integrales. El resultado se sigue de observar que
$\displaystyle -\int_0^\infty f^\prime(tx)dx = \frac{1}{t}\big(f(0) - \lim_{t\to\infty}f(t)\big),$
el límite existe porque $f^\prime$ es absolutamente integrable, y
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \frac{dt}{t} = \log(\beta/\alpha).$

Esta integral es importante en análisis de Fourier. Se utiliza, por ejemplo, para calcular el multiplicador de un operador integral con núcleo homogéneo (Stein, E. M., Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, p. 41).

05/05/2009 15:36

Esta integral se conoce por ahí como la integral de Frullani.

Efectivamente, se suele resolver por ahí usando integración en dos variables y el teorema de Fubini. Sin embargo, se puede ver de modo más sencillo (aunque la esencia es la misma, tal vez sea más adecuado para quienes no conocen integración en dos variables):

Sea $F(z)=\displaystyle{\int_0^\infty} \dfrac{f(zx)-f(\beta x)}{x}dx$ , para $z\geq \beta$ .

Derivando vemos que $F^\prime(z)=\dfrac{f(\infty)-f(0)}{z}$ , y entonces $F(z)=(f(\infty)-f(0))\cdot ln\;z+K$ , con $K$ a determinar. Ya que $F(\beta)=0$ , obtenemos directamente el resultado que bien habían indicado Zelig y Ricardos.

Responde

05/05/2009 17:17

se me coló $K(z)$ , cuando debe ser simplemente $K$ constante :S

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^DiAmOnD^

05/05/2009 23:23

Te lo quito ahora mismo :).

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