Hoy os traigo un problema que nos envió Gerard hace ya bastante tiempo. Ahí va:
Demostrar que:
A por él.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
La Tostadora
Tienes un 20% de descuento y envío gratis en toda la web de La Tostadora con al menos dos artículos. Usa el código GAUSSIANOS entrando con el enlace de la imagen.
Y usando el código REBAJAS tienes un 30% de descuento hasta el 8 de agosto con al menos 3 artículos.
Suscríbete por mail
Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail haz click en la imagen.
Yo construí el poliedro de Császár
Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.
Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Hoy os traigo un problema que nos envió Gerard hace ya bastante tiempo. Ahí va: Demostrar que: A por él. Vota a Gaussianos en los Premios Bitacoras.com 2011 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este……
Sea
I(2n) = Int(cos^(2n)(x), x, 0, 2 pi) = I(2n – 2) – Int(sen^2(x)cos^(2n-2)(x), x, 0, 2 pi)
Hagamos ésta última integral por partes, haciendo:
u = sen(x) ===> du = cos(x)dx
cos^(2n-2)(x)(-sen(x))dx = dv ===> v = cos^(2n-1)(x)/(2n-1)
Entonces,
– Int(sen^2(x)cos^(2n-2)(x), x) = Int(sen(x)cos^(2n-2)(x)(-sen(x)), x)
= sen(x)cos^(2n-1)(x)/(2n-1) – Int(cos^(2n-1)(x)/(2n-1) cos(x), x)
Pero al evaluar el término integrado en 0 y 2pi, nos da 0, por lo que queda
I(2n) = I(2n-2) – I(2n)/(2n-1) ===>
(2n/(2n – 1))I(2n) = I(2n-2)
I(2n) = ((2n-1)/(2n))I(2n-2) = ((2n-1)(2n-3)…3·1)/((2n)(2n-2)…4·2))I(0)
Pero I(0) = Int(1, x, 0, 2pi) = 2pi
lo que completa la demostración.
Primero notese que la funcion coseno elevada a un exponente par tiene periodo
. Luego, siendo la primer integral 
, escribamos la siguiente igualdad.
Integrando por partes con
y
se tiene que
Luego, siempre que se eliga un numero natural
como exponente se tendra que la integral del segundo termino sera 
, que es claramente igual a 
Viendo la relacion de recurrencia entre las integrales vemos que
Creo que he utilizado similar camino que Ignacio:
I(2n)=Int (cos^(2n)(x),x,0.2pi)=4Int(cos^(2n)(x),x,0,pi/2)
Int(cos^(2n)(x),x,0,pi/2)=Int(cos^(2n-1)(x)*cos(x),x,0,pi/2) que por partes queda en función de una integral de tipo I(2n-2), procediendo de igual forma hasta Int(cos^2(x))
Llegando a 4[(2n-1)/(2n)*(2n-3)/(2n-2)*(2n-5)/(2n-4)*…1/2]pi/4
Si si… la proxima vez LaTeX
Va de nuevo el comentario anterior
Las integrales son
y
También puede ser realizada utilizando números complejos para llevar la integral a una integral sobre la circunferencia unidad. Luego se usa el teorema de los residuos para calcularla, y el resultado se sigue inmediatamente…
Veo que mi razonamiento practicamente coincide con la primera aportación de Pedro T.
El largo tiempo que he necesitado para teclear mi nota y colgarla (a ciertas horas tengo problemas de ADSL) veo que él se me ha adelantado y superado en mucho con su exposición y …LaTeX
Saludos
¿Qué hay mal del siguiente razonamiento?
(porque no me cuadra el resultado…)
No hay nada incorrecto, está perfecto:
2^(-2n)(2n)!/(n!n!) 2pi = 2^(-2n)(2^n*n!(2n-1)!!)/(n!n!) 2pi =
= (2n-1)!!/(2^n*n!) 2pi = (2n-1)!!/(2n)!! 2pi
¡Vaya! menuda alegría me acabas de dar, mis herrumbrosos engranajes funcionan de vez en cuando (aunque éste no era difícil como algunos últimos).
XD XD
josejuan, ¿la sustitucion que haces no es la del cosenohiperbolico?
#dudoso, que yo sepa no (cosine).