El problema de esta semana, como no podía ser de otra forma, está relacionado con ecuaciones cúbicas. Aquí os lo dejo:
Sea
la mayor solución positiva de la ecuación
. Demostrar que
y
son ambos divisibles entre 17 (
denota, como siempre, la parte entera de
).
Recuerdo que lo ideal es resolver el problema mediante un procedimiento matemático. Las ayudas informáticas están muy bien, pero os pediría que no las utilizarais. Pido por favor que si alguien obtiene algún resultado (ya sea parcial o final) mediante procedimientos estrictamente informáticos no lo publique en un comentario, ya que le quitaría la gracia al problema.
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Las raíces cumplen
, 
y 
(
). Llamemos 
para 
: 
. De hecho siempre es un entero, pues de la propia ecuación 
Si
es suficientemente grande tenemos que 
, ya que 
y 
. Queda ver para qué valores de 
se verifica que 
. De los valores iniciales y la recurrencia
y aquí se repite el ciclo:
. Por último, 
y 
, y precisamente 
son congruentes con 1 módulo 17.
M dixit.
M, ¿Lo podrías explicar un poco? Es que hay algunas partes en las que me he perdido. Por ejemplo, ¿De dónde sacas que las soluciones x1, x2 y x3 están en los rangos que mencionas? ¿De dónde sale que
? Por lo que yo veo, 
, pero no veo que esa suma tenga que ser forzosamente 3. No quiero decir con esto que esté mal, ni muchísimo menos, pero es que no me queda claro eso.
saludos!
Jose, creo que las soluciones deduce que está en ese rango aplicando, por ejemplo, el teorema de bolzano.
Ya en lo otro que comentas sí que me pierdo jeje
Un saludo
OK, Jose, disculpa lo escueto de la respuesta. Era tarde, y ya se sabe… 1) Como dice Toniii los intervalos se deducen directamente del teorema de Bolzano. De hecho, usando la fórmula para la ecuación cúbica (que imagino que pronto aparecerá en un post), podemos calcularlas exactamente en forma real , , . 2) Que la suma es consecuencia de las relaciones de Cardano (en este caso, coincide con el opuesto del término de segundo grado en la ecuación original). Que la suma , es consecuencia de que (donde el segundo paréntesis vale cero también por las relaciones de Cardano,… Lee más »
Muchas gracias M!! Es que pensaba que se resolvía el problema sin utilizar los valores de las soluciones calculados. A ver si me pongo a ver lo de las relaciones de Cardano.
Me ha parecido interesantísimo este problema. ¿Podriais recomendarme algún buen libro que explique detalladamente ecuaciones cúbicas y las relaciones de Cardano?
Muchas gracias de antemano
Un libro bastante ameno para todo este asunto de resolución de ecuaciones, construcción de polígonos regulares, construcciones con regla y compás e irresolubilidad de los tres problemas clásicos es «Galois theory for beginners. A historical perspective», de Jörg Bewersdorff (AMS, 2006). En particular en la página 20 aparece la fórmula que da las soluciones de la cúbica en el caso de que las tres sean reales:
http://books.google.es/books?id=RSC2hpPQ0LQC&dq=galois+theory+for+beginners+a+historical+perspective&printsec=frontcover&source=bn&hl=es&ei=02dGSonFGtSZjAf2-51j&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5
Para las relaciones de Cardano-Vieta:
http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te%27s_formulas