Javier Fernández de Bobadilla nos habla sobre la conjetura de Nash

Hace un par de semanas más o menos se conocía la noticia de que dos matemáticos españoles resolvían una conjetura planteada por John Nash hace aproximadamente medio siglo. En Gaussianos publicamos el anuncio de esta resolución, pero quedaba contar un poco de qué iba esto.

Para ello lo mejor era ponerse en contacto con los protagonista de este tema: Javier Fernández de Bobadilla y María Pe Pereira:

• Javier Fernández de Bobadilla: Granadino de 38 años. Científico Titular del ICMAT (CSIC).
• María Pe Pereira: Burgalesa de 30 años. Becaria Postdoctoral de Cajamadrid en el Instituto Jussieu de París. Está a punto de defender su tesis en la Universidad Complutense de Madrid. Dos veces medallista en la Olimpiada Matemática Española (oro en 1998 y bronce en 1999).

Tras algunas gestiones pude hablar con Javier. Además de felicitarlo le pedí que nos hablara sobre el problema de Nash. Desde el primer momento estuvo dispuesto a colaborar y unos días más tarde me envió un texto explicando de qué va esta conjetura. Más adelante conseguí hablar con María, quien después de recibir mis felicitaciones me comentó que estaba de acuerdo con lo comentado por Javier. Bueno, no me enrollo más, aquí tenéis la explicación de Javier Fernández de Bobadilla sobre la conjetura de Nash.

El problema de Nash

El problema de Nash (en la imagen de la izquierda, tomada de aquí) fue formulado en 1968, en el contexto de intentar entender las resoluciones de singularidades en característica cero. Previamente, en 1964, Heisuke Hironaka (que más adelante, en 1970, recibió la medalla Fields, a la derecha en la foto, tomada de aquí) acababa de probar el Teorema de resolución de singularidades de variedades algebraicas en característica cero.

Una variedad algebraica es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales en varias variables, y una singularidad es un punto del espacio de soluciones que no es localmente liso, o sea, como el espacio euclídeo.

El Teorema de Hironaka afirma que toda singularidad (sobre un cuerpo de característica cero) puede obtenerse como un colapsamiento de una subvariedad algebraica en una variedad algebraica lisa. Esta representación como colapsamiento no es única y una misma singularidad resulta de colapsamientos distintos, es decir, tiene distintas resoluciones. La subvariedad que se colapsa en una resolución se llama lugar excepcional, y puede llegar a ser muy complicado. La idea de Nash consiste en estudiar la geometría común de los divisores excepcionales de las distintas resoluciones en términos de las propiedades de las posibles trayectorias (arcos) que atraviesan la singularidad.

Nash da una estructura de variedad algebraica (de dimensión infinita) al espacio de todos los posibles arcos. Una variedad algebraica de dimensión finita se puede descomponer en una unión de una cantidad finita de componentes irreducibles (pedazos que no se pueden escribir como unión de dos subvariedades). Nash probó que el espacio de arcos también tenía esta propiedad. El lugar excepcional de una resolución también se puede descomponer en una unión de componentes irreducibles, y aquellas componentes que aparecen en todos los lugares excepcionales de las distintas resoluciones se llaman esenciales.

Nash definió una aplicación entre el conjunto de componentes irreducibles del espacio de arcos y las componentes esenciales, y probó que era inyectiva. Afirmó que en el caso de superficies le parecía plausible que fuera biyectiva, y que sería interesante estudiar el problema en dimensión superior. En 2003, János Kollár y Shihoko Ishii construyeron un contraejemplo para dimension 4 y superior, trabajo que podéis ver aquí. Nosotros hemos dado una respuesta afirmativa en dimensión 2. El problema está ahora abierto en dimension 3.

La principal novedad respecto a enfoques anteriores es que hemos usado métodos topológicos, cuando hasta ahora el punto de vista había sido muy algebraico.

Yo (Javier) llegué al problema motivado por otro problema distinto de equisingularidad topológica, en el que aún trabajo. Tuve un primer resultado que permitió introducir métodos topológicos en el problema. María empezó a trabajar en el contexto de su tesis doctoral (en la Universidad Complutense de Madrid), en la que resolvió el caso de superficies cociente, e introdujo muchas ideas clave para la solución final. Posteriormente, pudimos dar una demostración del caso general entre los dos.

Este artículo es mi primera aportación a la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Los matemáticos no son gente seria, de Juan Martínez-Tébar.