En Matemáticas, un número de Sierpinski es un número natural impar k tal que los enteros de la forma k \cdot 2^n+1 son compuestos, es decir, no son números primos, para todo n número natural.

En 1960 el propio Waclaw Sierpinski demostró que existen infinitos números naturales impares que al ser usados como k producen siempre números compuestos.

Si tomamos todos los números de Sierpinski obtenemos un subconjunto del conjunto de los números naturales. Sabiendo que cualquier subconjunto de números naturales tiene mínimo (parece intuitivo, pero habría que demostrarlo), la pregunta está clara: ¿cuál es el mínimo número de Sierpinski? Es decir, ¿cuál es el número natural impar más pequeño para el cual k \cdot 2^n+1 es compuesto cualquiera que sea el valor de n?

En 1962, John Selfridge demostró que el número 78557 es un número de Sierpinski. Y de paso nos dejó una conjetura, llamada (no podía ser de otra forma) conjetura de Selfridge, que no es más que: el número 78557 es el mínimo número de Sierpinski.

¿Que habría que hacer para demostrar esta conjetura? Pues muy sencillo. Habría que tomar todos los números impares hasta el 78557 y comprobar que para todos ellos existe al menos un número natural n para el cual k \cdot 2^n+1 es primo. Hasta este mismo año 2007 sólo quedaban 7 candidatos menores que 78557 por eliminar. Y a eso mismo se está dedicando el proyecto Seventeen or Bust. Hace unos días (según su propia web el 6 de mayo de 2007) consiguieron comprobar que el número 19249 no es un número de Sierpinski. Por tanto, como hemos comentado antes, existe al menos un número natural n para el cual 19249 \cdot 2^n+1 es primo. Y eso es lo más interesante del asunto. Han encontrado que el siguiente número es primo:

19249 \cdot 2^{13018586}+1

Este gigantesco número posee exactemente 3918990 cifras lo que le convierte en el número primo más grande que se conoce exceptuando los primos de Mersenne (aquí hablamos de la confirmación del descubrimiento del 44º de ellos). Por tanto se trata de un gran descubrimiento.

Por si os interesa intentarlo por vuestra cuenta (no sé si habrá alguien con suficiente valor) os dejo los números que quedan por verificar:

10223, 21181, 22699, 24737, 33661, 55459, 67607

Suerte.

Fuentes:

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