Cuarto problema de la L Olimpiada Matemática Española celebrada en Requena los días 28 y 29 de marzo de 2014:
Sea
la sucesión de enteros positivos definida por
Determinar la mayor potencia de 5 que divide al número
.
Que se os dé bien.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
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Hola
Deberías repasar las expresiones de Latex porque salen fatal y con el error «No formula provided»
Información Bitacoras.com
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Es sencillo ver que como mínimo es 2014. lo que no veo tan claro es como mostrar que no es supoerior, que parece que no lo es.
Es decir,
(x_n)^2 + 1 = 0 (mod 5^n) (fácil)
pero
(x^n)^2 +1 =/=0 (mod 5^(n+1)) (no lo veo de momento)
Saludos,
Ignacio, yo estaba en un punto parecido, pero creo que lo he solventado. En definitiva, la mayor potencia de 5 que divide a (x_{2014})^2+1 [\latex] es precisamente 2014. El razonamiento es el siguiente: Trabajando en módulo 5 tenemos que: x_1=2 (mod 5) [\latex] x_2=2(2^3)+2=18=3 (mod 5) [\latex] x_3=2(3^3)+3=18=57=2 (mod 5) [\latex] Es decir, en módulo 5 la sucesión alterna los valores 2 y 3 indefinidamente de forma que: x_n= 2 (mod 5) [\latex] si n es impar y x_n=3 (mod 5) [\latex] si n es par. Y en cualquier caso un número de la forma (x_n)^2+1 [\latex] es múltiplo de… Lee más »
Debe haber algún error con Latex… espero que igualmente se entienda. Saludos!
Yo lo enfoqué por inducción, donde la hipótesis es que x{n}^2+1 es divisible por 5^n y no por 5^(n+1). La premisa es evidente para n=1 y en el caso general simplemente x{n+1}^2+1=4x{n}^6+x{n}^2+4x{n}^4+1=
Por inducción se tiene:
(5^n)k+4x{n}^4(5^n)k donde k es coprimo con 5.
y esa expresión es (5^n)k(1+4x{n}^4) que se comprueba que los restos posibles en modulo 5 es solo el 0 y que en modulo 25 no hay ninguna posibilidad de ser cero (eso se hace estudiando el comportamiento de los restos de x{n} hasta establecer un ciclo).
Probaremos por inducción que
donde K no es múltiplo de 5.
Para n=1 y n=2 es simple comprobación.
, que no es múltiplo de 5, ya que es múltiplo de 5 más uno
Supongamos que es cierto para un valor n>1:
Por la hipótesis de inducción:
donde
Entonces:
Por inducción queda demostrado el resultado y la solución del problema es 2014
Me faltó un signo igual en la última linea:
Perdón por lo errores de LaTeX, ya están solucionados.
Vuelvo a poner el comentario que hice ayer pero con las fórmulas de latex bien insertadas: Ignacio, yo estaba en un punto parecido, pero creo que lo he solventado. En definitiva, la mayor potencia de 5 que divide a es precisamente 2014. El razonamiento es el siguiente: Trabajando en módulo 5 tenemos que: Es decir, en módulo 5 la sucesión alterna los valores 2 y 3 indefinidamente de forma que: si n es impar y si n es par. Y en cualquier caso un número de la forma es múltiplo de 5 ya que: Por otra parte, se comprueba que… Lee más »
Yo soy ingeniero, de esto de teoría de números sé solamente lo fundamental. Entendí bien la demostración por inducción que hizo Agustín, pero lo de MarcoTac aún no lo entiendo bien. ¿Cómo sospecharon que lo que había que demostrar era que
? Yo hubiera puesto 5^x o algo así…
Agradecería mucho una aclaración. Soy curioso…..¡saludos!!!
Perdón, no hallo cómo poner la multiplicación. Donce dice cdot debe ir el punto de la multiplicación.
Hola Omar, yo también soy ingeniero! La clave está en fijarse que . Y observar que y , de lo que ya deduces que es mútiplo de . Otra observación importante es ver que y son ambos múltiplo de 5 para cualquier . Para ver esto trabaje en módulo 5 (restos de dividir por 5). Para el caso de ya no era necesario al ser múltiplo de «los anteriores» y en concreto de , pero en mi caso esto lo observé a priori, sin necesidad de poner en función de «los anteriores». Llegados aquí te preguntas ¿que pasa con ?,… Lee más »
Gracias. Si, lo entendí bien. Leí que este ejercicio es de unas olimpiadas para gente de bachillerato. Entiendo que son 6 problemas, y este parece ser de dificultad intermedia entre los seis. Me gustaría saber si alguno de los ganadores de medallas los resolvió todos satisfactoriamente en cuatro horas, y cuál fue el nivel de logro de los mejores participantes (información que, me parece, no figura en la página). Yo me imagino que si alguien resolvió correctamente los seis en cuatro horas , con 14-19 años de edad, debe ser un genio o poco menos. Creo que yo no habría… Lee más »
Hasta donde yo sé nunca se ha alcanzado la puntuación perfecta en la OME. La vez que estuvo más cerca fue hace 4 años con 39 de 42 puntos posibles (al menos ese fue el mejor resultado desde que se puntua sobre 42, que lleva siendo así 25 años (y quizá desde sus orígenes hace 50 años)). En cuanto a las horas, se dan tres horas y media para resolver los tres primeros y tres horas y media para los siguientes. Volviendo a lo anterior, es muy complicado puntuar perfecto en todo pues siempre habrá algo que no se sepa… Lee más »
Omar, el punto lo puedes poner con «\cdot» (sin las comillas).
Y ya aprovecho para volver a comentar lo de la edición de los comentarios: si editáis algún comentario vuestro que tenga código LaTeX tenéis que escribir cada contrabarra dos veces, porque el plugin de edición de comentarios se «come» una en cada fórmula (sigo sin saber por qué ocurre eso). Es decir, si tienes escrito \cdot y editas el comentario deberás escribir al editarlo \\cdot, para que el plugin se coma una de ellas y deje la otra.
Saludos.
Omar, la clave de los buenos resultados en las olimpiadas es el entrenamiento. China obtiene mejores resultados porque entrena más y no porque haya más genios chinos. Yo diría que un alumno de bachillerato que sólo haya recibido los contenidos del bachillerato y no haya entrenado resuelve correctamente todos los problemas entonces sí diría que es un genio.