L OME en Requena – Problema 5

Quinto problema de la L Olimpiada Matemática Española celebrada en Requena los días 28 y 29 de marzo de 2014:

El conjunto M está formado por números enteros de la forma a^2+13b^2, con a y b enteros distintos de cero.

i) Demostrar que el producto de dos elementos cualesquiera de M es un elemento de M.

ii) Determinar, razonadamente, si existen infinitos pares de enteros (x,y) tales que x+y no pertenece a M pero x^{13}+y^{13} sí pertenece a M.

Que se os dé bien.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comments

  1. i)
    (a^2+13b^2)(c^2+13d^2)=
    (ac-13bd)^2 + 13(ad+bc)^2 ó
    (ac+13bd)^2 + 13(ad-bc)^2.

    Si ad=bc y ac=13bd, el número no pertenece a M. Dividiendo ambos términos y recolocando obtenemos c^2 = 13 d^2, que es imposible para enteros. Luego una de las dos igualdades no se cumple y el número pertenece a M (falta considerar el caso ad=-bc, ac=-13bd, que se razona de igual modo).

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  2. i)
    (a^2+13b^2)(c^2+13d^2) = a^2c^2+13b^2c^2+13a^2d^2+13^2b^2d^2 = (13^2b^2d^2+a^2c^2-26abcd)+(13b^2c^2+13a^2d^2+26abcd) = (13bd-ac)^2+13(bc+ad)^2

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  3. A falta de la solución para la parte difícil del problema (el apartado ii) voy a hacer una pequeña generalización para la obtención de la fórmula obtenida por luis y Mmonchi para la parte i):

    Dado K \in Z, tal que \sqrt {K} \not\in Z, consideramos el conjunto  Z [ \sqrt {K} ]= \{a+b \sqrt {K} \vert a,b \in Z \}   .

    Se obtiene que:
    (a+b \sqrt {K})+(c+d \sqrt {K})=(a+c)+(b+d) \sqrt {K}

    (a+b \sqrt {K}) \cdot (c+d \sqrt {K})=(ac+bdK)+(ad+bc) \sqrt {K}

    Si z=a+b \sqrt {K} se llama conjugado de z a \overline {z} =a-b \sqrt {K}

    Se comprueba inmediatamente que  \overline {z+z'} = \overline {z} + \overline {z'}; \overline {z \cdot z'} = \overline {z} \cdot \overline {z'} y  \overline {\overline {z}} =z

    Se llama norma de un elemento  z \in   Z [ \sqrt {K} ] al valor   N(z)=z \cdot \overline {z}
    Es inmediato que   N(z \cdot z')=z \cdot z' \cdot \overline {z \cdot z'}=z \cdot z' \cdot \overline {z} \cdot\overline {z'}=z \cdot z' \cdot \overline {z \cdot z'}=z \cdot \overline {z} \cdot z'  \cdot \overline {z'} = N(z) \cdot N(z')
    Además:    N(a+b \sqrt {K})=(a+b \sqrt {K}) \overline {a+b \sqrt {K}}=(a+b \sqrt {K})(a-b \sqrt {K}) = a^2-Kb^2

    Para el caso K=-13 la fórmula que obtienen luis y Mmonchi se obtendría así:

      (a^2+13b^2)(c^2+13d^2)=  N(a+b \sqrt {-13})N(c+d \sqrt {-13})=

    =N \Big ( (a+b \sqrt {-13})(c+d \sqrt {-13}) \Big )=N \Big ( (ac-13bd)+(ad+bc) \sqrt {-13} \Big )=

     =(ac-13bd)^2+13(ad+bc)^2

    Nótese la analogía entre el estudio hecho y los números complejos. Basta cambiar el conjunto de los enteros por el de los reales y particularizar para K=-1.

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  4. La parte ii realmente es un poco rebuscada, si no me equivoco tiene algo que ver con las propiedades de anillos y cuerpos y algebra avanzada aunque por supuesto no hace falta entrar en eso. No os desanimeis en el apartado ii , si os consuela nadie recibió los 7 ptos en este.

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  5. Se está resistiendo más que un problema de los de ya cierta dificultad de las OIM… Buen nivel.

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  6. Jajaja, encontrar esa sucesión x_k es ABSURDO. Como mucho podría encontrarse o ocurrírsenos a posteriori, mirando que x^13 + y^13 tenga que ser algo igual a (a+1)x^13 como detallan al final de la solución para que al final de todo nos salga un cuadrado [(a+1)^7]^2 que multiplicado por un número de M (el x_k) siempre dé un número de M, y a partir de ahí hacer el regressus para encontrar que entonces dichas x_k han de ser múltiplo de las y_k para que funcione; pero eso es algo que, como digo, solo a posteriori es meridianamente “fácil” verlo. Desde mi punto de vista, claro.

    Aparte, está también que en el enunciado se nos dice que “existan infinitos pares de enteros (x,y)” pertenezcan a M o no; y en el ejercicio vemos que la solución pasa por considerar que sí pertenezcan a M. Es decir, encima el enunciado ayudaba a que uno se perdiera por los cerros de úbeda.

    Difícil, muy difícil. Como todos los problemas con idea feliz.

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  7. No sé por qué dices eso, x_k e y_k no son miembros de M.

    A mí me ha parecido muy muy difícil. Yo he estado lejísimos de resolverlo. Pero no me parece imposible. El esquema sería el siguiente:

    ATENCIÓN, A PARTIR DE AQUÍ SE DAN DETALLES DE LA SOLUCIÓN DEL ENLACE

    – Darse cuenta de que si el número es congruente con 3 módulo 4 no pertenece a M. Esto yo creo que es asequible.

    – Pensar que si tenemos un número x que es 1 módulo 4 y hacemos y=2x, entonces x+y no pertenece a M. Esto sí es un poco idea feliz, pero no es para tanto.

    – Calcular x^{13}+y^{13} = (2^{13}+1)x

    – Adaptar x para que lo anterior sea miembro de M. Hacer esto a posteriori, como tú dices, no es tan tan difícil.

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