Quinto problema de la L Olimpiada Matemática Española celebrada en Requena los días 28 y 29 de marzo de 2014:
El conjunto M está formado por números enteros de la forma
, con
y
enteros distintos de cero.
i) Demostrar que el producto de dos elementos cualesquiera de M es un elemento de M.
ii) Determinar, razonadamente, si existen infinitos pares de enteros
tales que
no pertenece a M pero
sí pertenece a M.
Que se os dé bien.
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i)
ó
.
Si
y 
, el número no pertenece a M. Dividiendo ambos términos y recolocando obtenemos 
, que es imposible para enteros. Luego una de las dos igualdades no se cumple y el número pertenece a M (falta considerar el caso 
, 
, que se razona de igual modo).
i)
(a^2+13b^2)(c^2+13d^2) = a^2c^2+13b^2c^2+13a^2d^2+13^2b^2d^2 = (13^2b^2d^2+a^2c^2-26abcd)+(13b^2c^2+13a^2d^2+26abcd) = (13bd-ac)^2+13(bc+ad)^2
i)
A falta de la solución para la parte difícil del problema (el apartado ii) voy a hacer una pequeña generalización para la obtención de la fórmula obtenida por luis y Mmonchi para la parte i): Dado , tal que , consideramos el conjunto . Se obtiene que: Si se llama conjugado de z a Se comprueba inmediatamente que y Se llama norma de un elemento al valor Es inmediato que Además: Para el caso K=-13 la fórmula que obtienen luis y Mmonchi se obtendría así: Nótese la analogía entre el estudio hecho y los números complejos. Basta cambiar el conjunto… Lee más »
La parte ii realmente es un poco rebuscada, si no me equivoco tiene algo que ver con las propiedades de anillos y cuerpos y algebra avanzada aunque por supuesto no hace falta entrar en eso. No os desanimeis en el apartado ii , si os consuela nadie recibió los 7 ptos en este.
¿Nadie lo ha resuelto?
Se está resistiendo más que un problema de los de ya cierta dificultad de las OIM… Buen nivel.
La solución está publicada en
http://www.requena.es/es/sites/default/files/2-Soluciones%20L-OME%20Requena-2014.pdf
A mí me parece una pasada
Pues sí.
Jajaja, encontrar esa sucesión x_k es ABSURDO. Como mucho podría encontrarse o ocurrírsenos a posteriori, mirando que x^13 + y^13 tenga que ser algo igual a (a+1)x^13 como detallan al final de la solución para que al final de todo nos salga un cuadrado [(a+1)^7]^2 que multiplicado por un número de M (el x_k) siempre dé un número de M, y a partir de ahí hacer el regressus para encontrar que entonces dichas x_k han de ser múltiplo de las y_k para que funcione; pero eso es algo que, como digo, solo a posteriori es meridianamente «fácil» verlo. Desde mi… Lee más »
No sé por qué dices eso, e no son miembros de M. A mí me ha parecido muy muy difícil. Yo he estado lejísimos de resolverlo. Pero no me parece imposible. El esquema sería el siguiente: ATENCIÓN, A PARTIR DE AQUÍ SE DAN DETALLES DE LA SOLUCIÓN DEL ENLACE – Darse cuenta de que si el número es congruente con 3 módulo 4 no pertenece a M. Esto yo creo que es asequible. – Pensar que si tenemos un número x que es 1 módulo 4 y hacemos y=2x, entonces x+y no pertenece a M. Esto sí es un poco… Lee más »