En muchas ocasiones hemos visto que la geometría en general, y la del triángulo en particular, nos puede proporcionar resultado preciosos a la par que inesperados. Éste es el caso del que os voy a mostrar en esta entrada, que además de ser una maravilla geométrica nos da la forma de construir la que en la actualidad se conoce como circunferencia de Conway.

Partimos de un triángulo cualquiera, como éste:

Ahora desde cada vértice prolongamos los lados que se cortan en él con un segmento cuya longitud sea igual al lado opuesto de dicho vértice. La cosa quedaría tal que así (he añadido colores para que se vea más claramente):

Bien, pues lo que asegura el teorema de Conway es lo siguiente:

Teorema de Conway:

Los seis puntos en los que terminan cada uno de los segmentos prolongados de la manera comentada anteriormente desde los tres vértices del triángulo están en la misma circunferencia.

Por esta razón se la conoce como circunferencia de Conway. En el siguiente applet de GeoGebra podéis ver esta circunferencia de Conway, y comprobar, moviendo los vértices del triángulo, que esos seis puntos siempre caen en ella:

Bien, vamos a intentar demostrar este resultado. Para ello vamos a utilizar el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia:

Sea P un punto del plano y c una circunferencia que no pasa por P. Supongamos que tomamos dos cuerdas que pasan por P y tal que cada una de ellas corta a la circunferencia en dos puntos, la primera en los puntos A,B y la segunda en los puntos CD. Entonces se cumple que:

\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}

Es decir, el producto de las longitudes de los dos segmentos en los P a cualquier cuerda que pasa por él es constante. Al valor de ese producto se le denomina potencia del punto P respecto de la circunferencia c.

En realidad vamos a utilizar el siguiente resultado, que podría decirse que es el recíproco de éste:

Si dos segmentos AB y CD que se cortan en un punto P verifican que \overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}, entonces los cuatro puntos A,B,C y D están en la misma circunferencia.

Vamos a la demostración:

Fijémonos en el vértice A, en el que se cortan los segmentos IR y FN. Por un lado tenemos que \overline{AI} \cdot \overline{AR} = a(b+c), y por otro también se cumple que \overline{AF} \cdot \overline{AN} = a(b+c). Por tanto tenemos que los puntos I,F,R y N están en la misma circunferencia.

Pero podemos hacer lo mismo con el vértice B y los segmentos FN y KQ, por lo que los puntos F,N,K y Q están en la misma circunferencia.

Con ello obtenemos que los seis puntos I,F,R,N,K y Q están en la misma circunferencia.

Actualización: En este comentario Javier nos avisa de que la demostración está imcompleta. Ignacio Larrosa Cañestro, en este otro comentario, la termina.

Demostración sencilla para un resultado precioso, ¿verdad? Bien, pues la cosa no queda ahí. El centro de esta circunferencia es…bueno, eso os lo dejo a vosotros. Es decir, tenéis que decir qué punto es el centro de la circunferencia de Conway y dar una demostración que avale vuestra propuesta. Espero vuestros comentarios.

¿Por qué se conoce como circunferencia de Conway? Porque fue el propio John Horton Conway quien estrenó un subforo de MathForum proponiendo este mismo problema (aquí nos hablan de ello). Y para honrar este bonito resultado, ¿qué mejor que plasmarlo en una camiseta? ¿Y quién mejor para hacerlo que el propio John Horton Conway? Pues ahí la tenéis, tomada de este post del blog de Tanya Khovanova (lugar por el que supe por primera vez sobre la existencia de este resultado):

Genio y figura el señor Conway, sin duda.

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