Hace unos días, Terence Tao hizo público un resultado que representa un paso importante para acercarse a la demostración de la conjetura de Goldbach. Aprovechando la ocasión Rafael Tesoro se ha ofrecido para resumirnos varios resultados relacionados con el estudio de este famoso problema.

Multiplicando los números primos se forman todos los números enteros positivos, pero, ¿qué ocurre si los sumamos?

Leonhard Euler mantuvo una extensa correspondencia con Christian Goldbach. Con fecha 30 de junio de 1742 escribe:

[…] que todo número que es resoluble como [suma] de dos primos puede [a su vez] ser representado como [suma] de tantos primos como se quiera, puede ser ilustrado y confirmado por una observación, misma que usted me comunicó formalmente, concretamente, que todos los números pares son suma de dos primos […] Sin embargo que todo número par sea la suma de dos números primos, lo que considero un teorema correcto, es algo que no puedo demostrar.

Estas palabras de Euler marcan el inicio de las referencias a lo que hoy se conoce como conjetura de Goldbach. El tío Petros, protagonista de la novela de Apostolos Doxiadis (v. referencia [D] más abajo) descarta intentar tanto la hipótesis de Riemann como el último teorema de Fermat y elige esforzarse durante toda una vida por desentrañar la elusiva dificultad de este problema.

Conjetura 1 (Goldbach, Euler, Descartes, Waring):

Todo entero par mayor o igual que 4 es la suma de 2 primos.

Se conjetura que la cantidad de representaciones se aproxima con la fórmula

r_2(N) \sim \dfrac{N}{(\log N)^2} \cdot 2 C_2 \cdot \mathcal{P}_2(N) \qquad (N \text{ par)},

en donde (a) el símbolo \sim significa similitud entre los dos miembros siempre y cuando N sea suficientemente grande, (b) C_2 es un número fijo (conocido como «la constante de los primos gemelos») y (c) \mathcal{P}_2(N) denota el valor de cierto producto en el que intervienen los factores primos del entero N. Como ejemplo, notamos que 16=3+13=5+11 comprobando así que r_2(16)=2, es decir, el número par 16 se representa de dos maneras con 2 sumandos primos. Esta ciberpágina ayuda a encontrar las representaciones de cualquier número concreto.

Ivan VinogradovParafraseando a Euler, hoy se «considera correcta» la conjetura 1, aunque no se podido demostrar…todavía. En el ascenso hacia la cumbre sí se han alcanzado varias cotas impresionantes como el

Teorema 2 (Vinogradov, 1937):

Todo entero impar y suficientemente grande es la suma de 3 primos.

En este caso sí se sabe aproximar la cantidad de representaciones:

r_3(N) \sim \dfrac{N^2}{2 \cdot (\log N)^3} \cdot \mathfrak{S}(N) \qquad (N \text{ impar}),

en donde \mathfrak{S}(N) es una cierta función de N con \mathfrak{S}(N) > 6/\pi^2 >0. ¡Salta a la vista la similitud con la fórmula de la conjetura 1 anterior!

¡No podrá probar la conjetura de Goldbach con judías, amigo! – dijo en tono áspero y zafio, evidentemente parodiando a Littlewood. (v. [D, página 143])

Aparte del incierto «método de las judías» del tío Petros, hay dos líneas de aproximación principales con las que diversos matemáticos han conseguido arduos éxitos parciales.

Chen Jingrun(1) Los métodos de criba han cosechado importantes avances entre los que destacan los dos teoremas siguientes.

Teorema 3 (Chen Jing-Run, 1966):

Todo entero par, mayor o igual que 4, es la suma de un primo y un casiprimo.

Esto se parece mucho a la Conjetura 1, salvo que el segundo sumando casi es un primo. Se llama casiprimo a un entero que es o bien un primo auténtico o bien el producto de dos primos (por ejemplo 10 y 14 son casiprimos).

Teorema 4 (Ramaré, 1995):

Todo entero par es la suma de a lo más 6 primos.

Terence Tao(2) El método del círculo de Hardy-Littlewood, completado con otras técnicas apropiadas que él añadió, permitió a Ivan Vinogradov conseguir el Teorema 2 sobre ternas de primos. Esta «caja de herramientas» se ha usado con importantes éxitos también en otros problemas de teoría de números. Sin embargo, actualmente parece inverosímil que con esta línea de ataque se alcance la cumbre de la Conjetura 1. Ahora bien, no ha perdido todo su fuelle. Apoyándose en el método del círculo, Terence Tao ha elevado el listón muy recientemente.

Teorema 5 (Tao, 2012):

Todo entero impar mayor que 1 es la suma de a lo más 5 primos.

Tao resume este trabajo en su blog: Every odd integer larger than 1 is the sum of at most five primes.

El método del círculo

El método del círculo de Hardy-Littlewood aprovecha la máxima ‘divide y vencerás’. Intentaremos dar una idea sucinta acerca de cómo se pone a rodar para el caso particular de tres sumandos primos.

El objeto de deseo es aproximar el valor de r_3(N). En primer lugar se cambia el escenario del juego consiguiendo recuperar esta función como una integral

r_3(N) = \displaystyle{\int_0^1 (f_N(x))^3 \; e(-Nx) \, dx},

lo que nos pone en la ventajosa situación de tener que estimar integrales, un terreno relativamente conocido. Ahora se parte el intervalo de integración en dos trozos denominados arcos mayores \mathfrak{M} y arcos menores \mathfrak{m} con el propósito de utilizar en cada trozo estrategias distintas.

Dentro de \mathfrak{M} se encuentra una segunda función parecida a (f_N(x))^3 y fácil de integrar. Al integrarla se obtiene una contribución que (siempre y cuando N sea suficientemente grande) es mayor que una constante positiva (en el Teorema 2 se trata de 6/\pi^2 >0).

En la otra parte \mathfrak{m} = [0,1] \setminus \mathfrak{M} y para el caso de sumas de tres primos Vinogradov consiguió demostrar que la contribución de la integral tomada sobre esta parte se esfuma al compararla con la parte principal que emergió tras el estudio de los arcos mayores. De modo que los arcos menores hacen honor a su apellido. En lenguaje matemático la conclusión es

r_3(N) = \dfrac{N^2}{2 \cdot (\log N)^3} \cdot \mathfrak{S}(N) \cdot \left(1 + o(1) \right),

en donde el factor de la derecha del todo, entre paréntesis, tiende a 1 cuando N \to \infty.

Para más detalles se puede consultar Hardy–Littlewood circle method o bien el capítulo 2 de la ref. [T].

* * *

Concluimos exhibiendo otro resultado de carácter más estadístico. Previamente mencionamos un valor que permite comparar cuantitativamente subconjuntos infinitos. Se trata del concepto de densidad asintótica de un subconjunto A de los enteros positivos, y se define como el siguiente límite (si existe)

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} A(x)/x},

en donde A(x) cuenta los elementos de A que son menores o iguales que x. La densidad de cualquier conjunto finito es 0. En los conjuntos de infinitos enteros positivos la densidad toma valores entre 0 y 1. Por ejemplo, la densidad de(l conjunto de todos) los cuadrados es 0, la de los pares (y también la de los impares) es 1/2. Más enjundia tiene el hecho de que la densidad del conjunto de los primos es 0.

Pues bien, denotemos ahora por E(x) a la cantidad de enteros pares menores o iguales que x que incumplen la condición de la Conjetura 1. Usando el método del círculo se ha demostrado

Teorema 6 (Chudakov, van der Corput, Estermann):

La densidad del conjunto de excepciones a la Conjetura 1 es nula

Esto es:

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \dfrac{E(x)}{x}=0},

lo que cabe interpretar en el sentido de escasez de incumplimientos: o bien las excepciones son una cantidad finita o son tan escasamente infinitas como los cuadrados o como los primos. Si la Conjetura 1 es cierta sólo habría una excepción: \lbrace 2 \rbrace, i.e. E(x) = 1 \quad (x>1).

Algunas referencias en español

[G-O] Guevara Bravo, J. y Ojeda Uresti, J. ¿Formuló Goldbach la conjetura de Goldbach?
Ciencias, enero-marzo, número 081, 2006.

[D] Doxiadis, Apóstolos El tío Petros y la conjetura de Goldbach. ZETA www.zetabolsillo.com, 4ª reimpresión 2011.

[T] T. , R. Sumando primos…¿hay tres sin dos? 2011, que se resume en esta presentación.

Rafael Tesoro es licenciado en Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid y ha completado el «Máster de Matemáticas y Aplicaciones» de la propia UAM. Su trabajo de fin de máster estuvo relacionado con el teorema de los tres primos de Vinogradov, supervisado por Fernando Chamizo. En la actualidad es estudiante de doctorado en la UAM bajo la supervisión de Javier Cilleruelo (sí, «nuestro» Javier Cilleruelo).

Rafael Tesoro fue, como yo, uno de los que presentaron un desafío RSME-El País, concretamente el desafío 33: Una azarosa taba.

La foto de Vinogradov la he tomado de aquí y la de Jingrun de aquí (Rafael, gracias por los enlaces).

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