Cuando queremos demostrar un resultado contamos con varias maneras de hacerlo: demostración directa, por contrarrecíproco, por reducción al absurdo, por inducción (estas dos últimas las comentamos aquí), por contraejemplo… Dependiendo de cómo sea el resultado que queremos demostrar puede que nos interese más usar una demostración u otra, pero en principio todas son perfectamente válidas siempre que los argumentos lógicos que utilicemos dentro de ellas sean correctos.
Los métodos de demostración que se han nombrado en el párrafo anterior son los, digámoslo así, más habituales. El post que nos ocupa pretende presentar un método de demostración que es muy poco conocido, aunque no por eso deja de ser brillante: el método del descenso infinito.
Este método de demostración fue ideado por Pierre de Fermat y digamos que es una variante del método de reducción al absurdo aplicable a problemas con enteros positivos. Consiste en lo siguiente:
Supongamos que queremos demostrar una cierta afirmación P. Lo que hacemos es suponer que se para un cierto n número natural se cumple su negación, ¬P, y a partir de ahí demostramos que entonces también se cumple su negación para un número natural menor que n. Continuando con el razonamiento obtenemos una sucesión infinita y decreciente de números naturales, lo cual es imposible; o descendiendo llegamos a un cierto número natural que no cumple ¬P. Por tanto, aplicando reducción al absurdo obtenemos lo que queríamos: que P es cierta.
Vamos a ver un ejemplo. Demostraremos que si v, w son primos relativos y vw es un cuadrado, entonces v y w son cuadrados. Haremos ésto demostrando que es imposible que existan enteros positivos v y w tal que:
1.- v y w son primos relativos
2.- vw es un cuadrado
3.- v y w no son ambos cuadrados
Vamos con ello:
Intercambiando los papeles de v y w si hace falta supondremos q v no es un cuadrado. En particular v es distinto de 1. Por tanto v es divisible al menos por un número primo. Sea P un primo que divide a v, esto es, v = Pk. Entonces P también divide a vw. Pero al ser un cuadrado, digamos 
que implica que 
Como P divide al lado derecho de la igualdad también divide al izquierdo. Por la propiedad de los números primos utilizada anteriormente se tiene que P divide a k o a w. Pero P no divide a w porque v y w son primos relativos y P divide a v. Por tanto P divide a k, digamos k = Pv’.
Entonces 
El mismo argumento nos lleva a otro entero positivo v» tal que v» y w cumplen también esas tres propiedades. Repitiendo este proceso indefinidamente tendríamos entonces una sucesión de enteros positivos v > v’ > v’’ > … que decrece indefinidamente. Como esto es imposible (los números enteros positivos no pueden decrecer indefinidamente) se tiene que es imposible que dos enteros positivos v y w tengan las tres propiedades anteriores, y por tanto este método prueba el enunciado.
En resumen, el método del descenso infinito se apoya en el siguiente principio:
Supongamos que el hecho de que un entero positivo dado cumpla unas ciertas propiedades implica que existe otro entero positivo menor que el dado que cumple las mismas propiedades. Entonces ningún entero positivo cumple esas propiedades
Otros resultados que se pueden demostrar con este método (y que parece ser que el propio Fermat demostró con él) son:
1.- Ningún triángulo rectángulo puede tener como área un cuadrado.
2.- Todo número primo de la forma 4n + 1 se puede poner como suma de dos cuadrados de una y sólo una forma.
3.- El caso n = 4 del último teorema de Fermat.
Os animo a intentarlo con alguno de ellos, aunque puede que no os resulte fácil. Si alguien lo consigue y se anima que no dude en compartirlo con nosotros.
Fuente principal: Mis trabajos de la carrera
Otras fuentes donde encontrar información:
Nota: Cuando hablamos de un cuadrado nos referimos a un número que es el cuadrado de otro. Por ejemplo 25 es un cuadrado al ser 
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A ver si hay suerte y sale alguno 😛
ummm, no sé, a simple vista parece una forma más enrevesada del Principio de Inducción de los números naturales.
¿En qué se diferencian?
¿Diferencias?. Pues el principio de inducción dice que (1) si el primer número natural cumple cierta propiedad y (2) el hecho de que cierto número natural la cumpla implica que lo cumple el siguiente nos asegura que todos los números naturales la cumplen. El descenso infinito dice que si el hecho de que cierto número natural cumpla una propiedad implica que también la cumple un natural más pequeño (no necesariamente el anterior, cualquiera más pequeño) nos asegura que la propiedad es falsa (ya que no existen sucesiones estrictamente decrecientes con infinitos elementos en los números naturales), y por tanto su… Lee más »
Hola por favor necesito saber la diferencia entre reducción al Absurdo y reducción por contradicción. Específicamente la demostración que la raíz cuadrada de 2 es irracional.Gracias¡
ME GUSTARÍA UNA DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA Y NO TANTO ALGE BRAICA….. EN RAZÓN QUE NO SE TIENE EN CUENTA LOS NÚMEROS IMPARES .
sí, te sigo. Para algunas cosas sería más útil el descenso infinito; mientras que para otras el «ascenso». Me mareaste mucho la perdiz con el ejemplo de los primos, hombre…XD Aunque bueno, voy de jodón, y pregunto: al empezar con el Principio de Inducción, si una propiedad era no válida, no se llegaba a un contradicción? Digamos que también vale para demostrar la falsedad de ciertas propiedades. Tengo vagos recuerdos de ejercicios de cálculo diferencial… Esto es una reflexión a parte, pero gracias por tu tiempo a la hora de explicar LOS CONCEPTOS de una forma más accesible. Me he… Lee más »
^DiAmOnD^ enlaze tu blog, me encanta este blog, chekalo en mi web http://www.michoacano.com.mx. Oye, que grado de estudios tienes?
Una cosilla…
Cuando dices que ningún triángulo rectángulo puede tener como área un cuadrado… ¿Te refieres a triángulos con lados enteros, no? Es que si no me da que no cuadra…
Tengo un triángulo rectángulo cuya base mide 8 unidades de longitud y cuya altura mide 9 unidades de longitud. Calculé su área y me resultó 36 unidades cuadradas, es decir equivalente a un cuadrado cuyo lado mide 6 unidades. ¿Está bien?
Vamos por partes: kayzen: intenta explicar un poco mejor eso de al empezar con el Principio de Inducción, si una propiedad era no válida, no se llegaba a un contradicción?, pon un ejemplo o algo así, que no sé exactamente a qué te refieres. Respecto a las explicaciones creo que son necesarias. Intentamos llegar a mucha gente y sin pararse un poquito en las explicaciones quien no esté demasiado familiarizado con el tema se puede perder. Y sí, hay mucho ladrillo por ahí en ese sentido, y hay de todo: algunos demasiado puristas y otros algo incapaces de bajare un… Lee más »
Entiendo lo que dice kaizen sobre el «parecido» entre el Descenso infinito y la inducción.
El método inductivo básicamente nos permite comprobar que si un término cumple una propiedad el siguiente también lo hace.
Mientras que el descenso infinito hace que si un elemento cumple una propiedad el anterior también lo hace.
De ese modo ambos son una forma de inducción uno «induce» a los siguientes y el otro a los anteriores. 😛
Claro que con los descensos infinitos se podría conseguir una demostración completa a pesar de no poder hacer esa «inducción descendiente» a todos los términos anteriores.
Bueno, acabo de hacer una exhumación de mis apuntes de cálculo, y le he echado un ojo al principo de inducción. Erré en que el Principio de Inducción podía ser útil para demostrar que algo NO se cumplía. Tenía un vago recuerdo de que algebraicamente, cuando se usa el P(n) para demostrar P(n+1) se llegaba a alguna igualdad contradictoria. Y no era así. La cadena, de romperse, se rompe al principio: si eres incapaz de encontrar un natural para el que se cumpla la propiedad, no tienes punto de partida para aplicar la «inducción ascendente». Bueno, mis más humildes disculpas…la… Lee más »
yo siempre he usado y he visto usarse el principio de induccion matematica para demostrar la veracidad de un enunciado(osea que tal relacion se cumple y no para afirmar lo contrario y oviamente en el campo de los naturales) pero de los comentarios se me ocurrio esto:sabemos que para n=5 ,(2)(2^5)+1 ,no es primo(llamado primo de fermat) y sabemos que hasta hoy en dia no se encuentra otro primo de esta forma entonces puedo suponer que para un m>5 ,(2)^(2^m)+1, no es un primo y si demuetro que (2)^(2^(m+1))+1 no es primo podria afirmar sin duda que no existe otro… Lee más »
discipulodegauss pues sí, sería totalmente correcto. Planteándolo en afirmativo quedaría algo así:
1.- Para n = 5 el número de Fermat 2^(2^5) + 1 es compuesto
2.- Para m > 5, el hecho de que 2^(2^m) + 1 sea compuesto implica que 2^(2^(m + 1)) + 1 también lo es
Por tanto todos los números de Fermat son compuestos para n mayor o igual que 5.
Si consigues demostrar eso sería un bombazo 🙂
buena DiAmOn ,tomaste su complemento o por decirlo su antonimo de ‘numero primo ‘pero me pregunto si toda proposicion en la que se diga ‘que no es’ se podra cambiar por ‘es’,ya que si esto es cierto(pero dudo) entonces no habria diferencias, ahora no tengo un ejemplo pero si se me ocurre te lo dire,bueno se los dire a todos los que lleguen a este post que realmente esta ameno y le dare tiempo a los problemas que se dan que estan interesantes.
sobre el metodo del descenso infinito la verdad que nunca lo he usado pero ya lo vi anteriormente justamente cuando fermat demostro algunas propiedades de los numeros ,pero tengo un recuerdo vago de que el no lo ideo (espero que se aclare esta duda ya que no deseamos asimilar cosas inciertas)y a mi primer parecer este metodo de demostracion es un tipo de reduccion al absurdo(pues es un absurdo que se descenda infinitamente a traves de los naturales y si considerando ~p se encuentra un n para el que no se cumpla pues tambien es un absurdo)pero si tiene sello… Lee más »
hace poco que encontre este sitio y me perdi cosas muy importante pero lei la conversacion entre DiAmOn y papa oso creo sobre la demostracion de la existencia dedios debido ala aparicion de los numeros pi,e y phi por favor si alguien la tiene que me la envie a brusss@latinmail.com se que es mentira pero me mata laq curiosidad ,vay .
La demostración por descenso infinito,la hemos utilizado muchas veces falseada,me explico…cuando demostramos que «raíz cuadrada de 2″es un número irracional…se dice que lo hacemos por reducción al absurdo,y partimos de que es racional,presuponiendo que es una fracción (irreducible),y ahí está el asunto,si dejamos de presuponer que es irreducible ,lo que obtendremos es un bucle en que nunca obtendríamos el final del razonamiento,de manera que parece que por más que «simplifiquemos» los números naturales no se acabarían nunca (??)…en cambio si no queremos explicar este tipo de demostracción «por descenso infinito» simplemente decimos que hemos llegado a una contradicción… Yo ,particularmente,que… Lee más »
nieves: Interesante comentario. Es cierto, si no suponemos que la fracción igual a raíz de 2 es irreducible se puede usar descenso infinito. En lo que no sé si estoy demasiado de acuerdo es en que esa sea más clara que reducción al absurdo, al menos en este caso. Probablemente yo preferiría la clásica de fracción irreducible y reducción al absurdo. Pero para eso están, para que cada uno elija la que crea más conveniente en cada caso. discipulodegauss echa un ojo al correo cuando puedas. Por cierto, te he borrado alguno de tus comentarios que salieron repetidos para que… Lee más »
[…] Como ya hemos dicho alguna que otra vez en este blog se sabe que raíz de 2 es un número irracional, es decir, que no puede escribirse en forma de fracción. Pero todavía no os habíamos mostrado ninguna demostración. En este post vamos a ver dos demostraciones posibles de este hecho. La primera de ellas es la que podíamos denominar clásica, la que suele aparecer en todos los escritos sobre el tema, y que usa reducción al absurdo. La segunda no es ni mucho menos común, ya que usa descenso infinito. Vamos a verlas: […]
cual es la demostracion matematica de que raiz de 3 es un numero irracional
carlos fredy mira este artículo y verás dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2. Cambiando 2 por 3 se demuestra lo que pides.
Saludos 🙂
[…] estamos construyendo una sucesión entera infinita acotada, pero el método del desenso infinito de fermat. dice que eso es una contradicción. Entonces encontramos la contradicción que […]
A pesar de lo viejo de este post, al leerlo me encontré con esto:
Ningún triángulo rectángulo puede tener como área un cuadrado.
En otro post de este mismo hilo se aclara que debe ser para números enteros. ¿Debo suponer que los tres lados del triángulo rectángulo forman una terna pitagórica? Es decir que los tres lados tienen medidas enteras.
Porque sino no es cierta esa afirmación. Ya que si tengo por ejemplo un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y 32 respectivamente entonces el área es 64 y
Cierto Romero, el enunciado se refiere a triángulos rectángulos tal que las longitudes de todos sus lados son números enteros.
Los duendes no perdonan: LADOS, no ángulos
Cierto JJGJJG, ya está cambiado. Muchas gracias por el aviso. Malditos duendes…
Gracias por el dato.
Yo creo que más bien que poco conocido el razonamiento en sí, es el nombre que se le atribuye. Ese razonamiento me resulta familiar pero sin explicitar que se está haciendo uso del «método de descenso infinito».
Creo que, en el ejemplo hay una pequeña errata:
«algún divisor de v’ es también divisor de v»
el algún habría que sustituirlo por todo ¿no? de hecho
y de ahí que 
y 
sean primos relativos.
RB, sí, tienes razón. Pero con «algún» es suficiente, no hace falta poner «todo», ¿no? 🙂
gaussianos yo diría que «todo» es necesario, es decir, no vale con «algún», ya que es necesario para garantizar que
y 
no tengan divisores comunes: Si 
y 
tuvieran algún divisor común éste ha de ser también divisor de 
llegando a contradicción.
Cierto RB, lo cambio ahora mismo. Gracias por el apunte 🙂
buenos dias
coneces algun livro de hable del decenso infinito?
Yo lo veo como una «combinación» de reducción al absurdo con algo que yo he bautizado como «inducción inversa» (me gusta ponerle nombre a las cosas).
No sé si he sido afortunado en mi apreciación.
Un abrazo y fantástico artículo (como siempre).
Se me olvidaba hacer una pequeña apreciación (seguro que torpe, pero aprender implica decir tonterías): Una cosa común entre el principio de inducción y el «Método Infinito de Descenso de Fermat» es que ambos se basan en el Principio de Buen Orden hasta tal punto que algo tan simple (y a la vez tan potente) como que exista un mínimo en el conjunto en el que estamos trabajando, sea el «arranque» si estamos haciendo inducción y nuestro fatídico «estrellamiento» si estamos haciendo descenso infinito. Siento si mis comentarios, hoy por hoy, no tienen una calidad a la altura de este… Lee más »
Yo lo veo cómo una contradicción con el principio del buen orden, ya que $(N, <)$ es un conjunto bien ordenado
Manueldavid84, el descenso infinito descubierto por Fermat es la tabla de potencias. Si preparas una, verás como los números «descienden» desde el infinito a medida que aumentas de exponente.
El gran matemático y estudioso del trabajo de Fermat -Edouard Lucas, también Francés- nos lo muestra en el libro «Los Cuadrados Mágicos de Fermat»
https://articulo.mercadolibre.com.ar/MLA-614195684-edouard-lucas-cuadrados-magicos-de-fermat-_JM
Ocultó la verdad al igual que cuando Mersenne le exigió pruebas directas debido a un desencuentro que inició con Frénicle y Wallis; descifrando la verdad a través de una de las paradojas de Zenón se puede apreciar no solo la habilidad para esconder su descubrimiento sino la propia magia de las matemáticas.
Esa propia magia matemática que ha permitido parecer como verás todo el desvarío que se escrito sobre este tema en particular.