Cuando queremos demostrar un resultado contamos con varias maneras de hacerlo: demostración directa, por contrarrecíproco, por reducción al absurdo, por inducción (estas dos últimas las comentamos aquí), por contraejemplo… Dependiendo de cómo sea el resultado que queremos demostrar puede que nos interese más usar una demostración u otra, pero en principio todas son perfectamente válidas siempre que los argumentos lógicos que utilicemos dentro de ellas sean correctos.

Los métodos de demostración que se han nombrado en el párrafo anterior son los, digámoslo así, más habituales. El post que nos ocupa pretende presentar un método de demostración que es muy poco conocido, aunque no por eso deja de ser brillante: el método del descenso infinito.

Este método de demostración fue ideado por Pierre de Fermat y digamos que es una variante del método de reducción al absurdo aplicable a problemas con enteros positivos. Consiste en lo siguiente:

Supongamos que queremos demostrar una cierta afirmación P. Lo que hacemos es suponer que se para un cierto n número natural se cumple su negación, ¬P, y a partir de ahí demostramos que entonces también se cumple su negación para un número natural menor que n. Continuando con el razonamiento obtenemos una sucesión infinita y decreciente de números naturales, lo cual es imposible; o descendiendo llegamos a un cierto número natural que no cumple ¬P. Por tanto, aplicando reducción al absurdo obtenemos lo que queríamos: que P es cierta.

Vamos a ver un ejemplo. Demostraremos que si v, w son primos relativos y vw es un cuadrado, entonces v y w son cuadrados. Haremos ésto demostrando que es imposible que existan enteros positivos v y w tal que:
1.- v y w son primos relativos
2.- vw es un cuadrado
3.- v y w no son ambos cuadrados

Vamos con ello:

Intercambiando los papeles de v y w si hace falta supondremos q v no es un cuadrado. En particular v es distinto de 1. Por tanto v es divisible al menos por un número primo. Sea P un primo que divide a v, esto es, v = Pk. Entonces P también divide a vw. Pero al ser un cuadrado, digamos vw = u^2 se tiene por las propiedades de los números primos que P divide a u, y por tanto u = Pm. Entonces la igualdad vw = u^2 se puede rescribir así:

Pkw = (Pm)^2 = P^2 m^2

que implica que kw = Pm^2.

Como P divide al lado derecho de la igualdad también divide al izquierdo. Por la propiedad de los números primos utilizada anteriormente se tiene que P divide a k o a w. Pero P no divide a w porque v y w son primos relativos y P divide a v. Por tanto P divide a k, digamos k = Pv’.

Entonces kw = Pm^2 nos lleva a Pv^\prime w = Pm^2, que implica v^\prime w = m^2. Como v = Pk = P^2 v^\prime, todo divisor de v’ es también divisor de v, y por tanto v’ y w no pueden tener divisores comunes más grandes que 1 (recordemos que v y w son primos relativos). Además si v’ fuese un cuadrado entonces v = P^2 v^\prime sería un cuadrado, pero no lo es (es nuestra suposición inicial). Por tanto v’ no es un cuadrado. Así los números v’ y w cumplen las propiedades 1.-, 2.- y 3.- y además v’ < v.

El mismo argumento nos lleva a otro entero positivo tal que y w cumplen también esas tres propiedades. Repitiendo este proceso indefinidamente tendríamos entonces una sucesión de enteros positivos v > v’ > v’’ > … que decrece indefinidamente. Como esto es imposible (los números enteros positivos no pueden decrecer indefinidamente) se tiene que es imposible que dos enteros positivos v y w tengan las tres propiedades anteriores, y por tanto este método prueba el enunciado.

En resumen, el método del descenso infinito se apoya en el siguiente principio:

Supongamos que el hecho de que un entero positivo dado cumpla unas ciertas propiedades implica que existe otro entero positivo menor que el dado que cumple las mismas propiedades. Entonces ningún entero positivo cumple esas propiedades

Otros resultados que se pueden demostrar con este método (y que parece ser que el propio Fermat demostró con él) son:

1.- Ningún triángulo rectángulo puede tener como área un cuadrado.
2.- Todo número primo de la forma 4n + 1 se puede poner como suma de dos cuadrados de una y sólo una forma.
3.- El caso n = 4 del último teorema de Fermat.

Os animo a intentarlo con alguno de ellos, aunque puede que no os resulte fácil. Si alguien lo consigue y se anima que no dude en compartirlo con nosotros.

Fuente principal: Mis trabajos de la carrera
Otras fuentes donde encontrar información:

Nota: Cuando hablamos de un cuadrado nos referimos a un número que es el cuadrado de otro. Por ejemplo 25 es un cuadrado al ser 25 = 5^2.

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