El concepto de infinito es un concepto complicado de entender (de hecho no sé si alguien es capaz de comprenderlo a la perfección), como ya hemos comentado en una gran cantidad de ocasiones. Pero si es complicado ahora, mucho más lo era en el siglo XIX, cuando Georg Cantor realizó sus importantes estudios sobre los cardinales infinitos y dejó la famosa conjetura denominada hipótesis del continuo.
El matemático ruso Georg Cantor es conocido por ser uno de los pioneros de la teoría de conjuntos moderna, y por demostrar, mediante su conocido método diagonal, que el conjunto de los números naturales, , y el de los números reales,
, no tienen la misma cantidad de elementos, aun siendo los dos conjuntos infinitos. Estos hechos causaron un gran revuelo en las matemáticas de la época, y todavía hoy siguen sorprendiendo a todo el que se encuentra con ellos por primera vez.
Cantor llamó aleph-0, , al cardinal del conjunto de los números naturales (recordemos que cardinal es algo así como cantidad de elementos), el conjunto infinito más pequeño. Por otra parte, demostró que si tomamos todos los subconjuntos de un cierto conjunto A, entonces el conjunto formado por dichos subconjuntos, denominado partes de A,
, tiene cardinal mayor que el propio A. Recordando que
representa el cardinal de A, se tiene entonces que:
Trasladando esto a los números naturales tenemos entonces que
Es decir:
Definiendo como el menor cardinal infinito mayor que
, y aplicando el mismo razonamiento, obtenemos una cadena de desigualdades estrictas entre estos cardinales de conjuntos infinitos, estos alephs, que se denominan números transfinitos:
Volvamos al principio de esta entrada. Allí comentamos algo sobre la relación entre el cardinal de los números naturales, , y el de los números reales, que es…¿Cuál es? En principio Cantor sabía que era superior a
, nada más. Lo llamó
, por lo de continuo (los números reales llenan la recta real, forman una sucesión continua de números). Y lo que ha pasado a la historia con la denominación de
No hay ningún cardinal infinito mayor que
y menor que
.
Dado que el cardinal de los números reales, , es igual a
, la hipótesis del continuo se reduce a la siguiente igualdad:
La hipótesis del continuo afirma que:
Es decir, que el cardinal de los números reales es el número transfinito , el inmediatamente superior al cardinal de los números naturales. Vamos, que no hay ningún infinito entre los naturales y los reales.
Evidente, ¿verdad? Pues no, ni mucho menos era evidente. Y una prueba más que significativa de ello es que David Hilbert incluyó la hipótesis del continuo en su célebre lista de 23 problemas que presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) del año 1900. Y no solamente lo incluyó, sino que lo colocó en el primer lugar de su lista. Por tanto de evidente nada, y de importante mucho.
Y fue precisamente en otro ICM en el que la hipótesis del continuo fue auténtica protagonista. El 10 de agosto de 1904, dentro del ICM que se estaba celebrando en la ciudad alemana de Heidelberg, el matemático ruso Julius König impartió, con Hilbert y Cantor presentes, una conferencia en la demostró que la hipótesis del continuo era falsa. Cantor había realizado grandes esfuerzos para demostrar este resultado, pero no llegó a conseguirlo.
Efectivamente, el interés que había suscitado la intervención de König estaba plenamente justificado. En la discusión posterior a la conferencia, el propio Cantor agradeció públicamente a Dios haberle permitido vivir para ver la refutación de su error…pero el susto le duró poco a Cantor: unas semanas después se descubría que la demostración contenía un error (lo descubrió Zermelo), por lo que la hipótesis del continuo continuaba sin demostración. Y así siguió hasta la muerte de Cantor…
…y seguirá para siempre.
– ¿Cómo? ¿Para siempre?
Sí, para siempre.
– ¿Y se puede saber por qué estás tan seguro de ello?
Sí, claro que se puede saber: porque la hipótesis del continuo es indemostrable.
– ¿Einnn?
Lo que habéis leído: indemostrable. Indemostrable en el sistema de axiomas Zermelo-Fraenkel-Axioma de Elección (Zermelo-Fraenkel-Choice, ZFC) de la teoría de conjuntos. Veamos por qué.
En 1940 Kurt Gödel demostró que la hipótesis del continuo no puede ser refutada en el sistema ZFC. Para ello, Gödel añadió la propia hipótesis del continuo como axioma a los de ZFC y demostró que se obtenía un sistema consistente. Por otra parte, Paul Cohen demostró en 1963 que la hipótesis del continuo no puede ser demostrada en ZFC añadiendo el contrario de la hipótesis del continuo a ZFC y demostrando, como Gödel, que el sistema de axiomas que se obtenía era de nuevo consistente.
La prueba de Cohen cerraba el círculo: la hipótesis del continuo no se puede ni demostrar ni refutar dentro del sistema axiomático que está aceptado como el que gobierna la teoría de conjuntos, que es ZFC. Es decir, la hipótesis del continuo es independiente de ZFC, lo que significa que se puede construir una teoría de conjuntos consistente donde la hipótesis del continuo sea cierta y también puede construirse una teoría de conjuntos consistente donde dicho resultado sea falso. Vamos, como la cuestión del postulado de las paralelas, pero en teoría de conjuntos. Maravilloso, a la par que inquietante.
Al parecer Cantor creía firmemente que la hipótesis del continuo era cierta, y, como hemos dicho antes, dedicó muchos esfuerzos a demostrar su veracidad. Pero, evidentemente, no lo consiguió. Una auténtica lástima que no llegara a vivir el tiempo suficiente para saber la verdad.
Fuentes y enlaces relacionados:
- Un descubrimiento sin fin, de Enrique Gracián.
- El club de los matemáticos, de Guillermo Curbera.
- Continuum hypothesis en la Wikipedia en inglés.
- La imagen de Cohen la he tomado de este artículo escrito poco días después de su fallecimiento en 2007.
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Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: El concepto de infinito es un concepto complicado de entender (de hecho no sé si alguien es capaz de comprenderlo a la perfección), como ya hemos comentado en una gran cantidad de ocasiones. Pero si es complicado ahora, muc……
Y todo esto no es tan abstracto como parece: hay problemas simples de álgebra (como el problema de Whitehead) cuya veracidad depende de la hipótesis del continuo.
Una pequeña corrección: el cardinal de
no es
sino
.
es por definición el menor cardinal mayor que
, y
es justamente la hipótesis del continuo.
Definitivamente las matemáticas son sorprendentes… hoy me he quedado con una nueva palabra «INDEMOSTRABLE» !!. La propia teoría ZFC ya define por sí sola su límite de acción y es necesario crear otras ramas en la teoría de conjuntos.
La verdad me cuesta aun entender el concepto como tal de la hipótesis del continuo.
Si es indemostrable es que no se puede encontrar un contraejemplo.
Y si es imposible encontrar un contraejemplo, es que es verdadero.
Martin Gardner dixit.
En realidad se crean dos conjuntos de axiomas diferentes. ¿Cuál de ellos es verdadero? ¿Acaso ambos? O, como con el teorema de las paralelas, tenemos que preguntar al universo cómo se comporta…
Una proposición que sea verdadera y falsa refuta tu comentario.
Cuando dice «Allí comentamos algo sobre la relación entre el cardinal de los números reales, -aleph 0-,…» ¿No debería decir «… números naturales …»?
@Jose, así es en física y en las ciencias experimentales, pero en matemáticas, si no se encuentra un contraejemplo, es que no se ha buscado lo suficiente o de la forma correcta, pero no se puede deducir que sea cierto.
@Jose en este caso ni siquiera vale lo del contraejemplo, puesto que un contraejemplo refuta un enunciado del tipo «para todo…», mostrando UN caso para el cual no vale la proposición bajo alcance del cuantificador.
En el caso de la HC se trata de un enunciado particularizado, no cuantificado, que afirma una relación entre dos objetos determinados, no genéricos, por eso requiere ser probada de manera directa (o ad-absurdum), o bien… Gödel+Cohen mediante, probarse que es independiente de los axiomas.
Slds!
Arregladas las erratas, muchas gracias por comentarlas :).
Fernando, Srivanasa,
En el sistema de axiomas ZFC + Cohen… SÍ que pueden existir infinitos «intermedios» entre Aleph_0 y Aleph_1
Y creo que hace ya años que se está investigando el tema y es posible que ya se haya encontrado alguno de esos infinitos de cardinal intemedio.
Precioso 🙂
@Jose creo que vale la pena aclarar un punto.
Ni en ZFC+HC ni en ZFC-HC pueden existir infinitos conjuntos entre
y
, ni en general entre
y
. Y eso porque
viene a ser como una función que bienordena a los cardinales transfinitos.
Lo que sí puede ocurrir es que
con
. Esto es que, sea consistente la existencia de cardinales infinitos no numerables pero menores que el contínuo. Sobre eso sí hay mucha suela gastada, y se ha determinado que ese n tampoco puede ser cualquier valor. Por ejemplo, se sabe que debe ser
.
Saludos!
@Sirinivasa,
A lo mejor me he expresado mal.
Lo que quería decir es que con los axiomas ZFC + Cohen, (Cohen implica la falsedad de la hipótesis del continuo y por tanto la existencia de infinitos de tamaño intermedio entre los numerables y los puntos de la recta real); podrían buscarse y encontrarse efectivamente conjuntos de números cuyo cardinal es mayor que el de los numerables y menor que el de los puntos de la recta real.
La forma no constructiva de enfocar las matemáticas, tiene éstas servidumbres a pagar por la asunción de la existencia de objetos en no se sabe qué mundos.
[…] "CRITEO-300×250", 300, 250); 1 meneos La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen – Gaussianos gaussianos.com/la-hipotesis-del-continuo-del-susto-de-can… por baikonur hace 5 […]
En un momento del artículo se dice lo siguiente,
como el menor cardinal infinito mayor que
»
debería existir.
«Definiendo
no veo porque dicho
Math\’s Fact, el propio Cantor demostró que el cardinal de los naturales es menor que el cardinal de los reales, por lo que seguro que hay algún cardinal infinito mayor que
.
Corrigeme si me equivoco. Cantor demostró que existe una relación, o un conjunto de ellas, en las que siempre ppdemos probar que sobran elementos de R si tratamos de usarlas para crear biyecciones entre N y R.
La pregunta sería: si alguien le diera la vuelta a la tortilla, mostrando una relación en la que, da igual cuantos elementos de R metas en la relación, siempre van a sobrar infinitos elementos de N… ?Que seria eso? Un contraejemplo?
Yo pienso que seria completar un juicio incompleto, pues eso es posible entre dos conjuntos equipotentes.
Pero bueno, ahi dejo la pregunta.
no pueden sobrar elementos ya que los naturales es subconjunto propio de los reales
Supongo que Math\’s Fact se refiere a que la clase de cardinales mayores que
podría no tener un elemento mínimo. El que lo tenga se debe a que la clase de los cardinales está bien ordenada, lo cual se deduce del axioma de elección.
Y todos esos votos negativos a mi primer comentario (seis)… ¿Por qué motivo?
🙂
Efectivamente, me refería a que no parecía intuitivo que existiese tal mínimo, gracias por la aclaración.
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Perdonad mi ignorancia, pero ¿de verdad, de verdad, el método diagonal se toma en matemáticas como una demostración seria de la desigualdad de los dos conjuntos?
Pedro Mascarós, ¿qué le ves a esa demostración para que no se pueda tomar como «demostración seria»?
@Pedro Mascarós que en contextos divulgativos se «relate» esa demostración en términos más bien informales y heurísticos, no supone que no sea seria y que es formulable con toda la formalidad y rigurosidad que se quiera, por cierto, si no considera a esa una demostración, vea, quedaría invalidada cualquier demostración ad-absurdum
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@Sirinivasa, @gaussianos Lo que no llego a entender bien, no es exactamente lo que hace, si no que la propia idea de poder tomar los conjuntos infinitos en acto como si fueran finitos, lo hace también a nivel metamatemático, es decir, supone que la relación unívoca entre los dos conjuntos los tiene también en acto. A ver si me explico, en el momento en que toma esta nueva visión del conjunto infinito y además lo aplica a la metamatemática «imagina que tengo una relación unívoca completa entre los dos conujuntos» o » construyo un número de infinitos decimales el cual… Lee más »
¿Porqué no consigo entenderlo?
@Pedro Mascarós: tus comentarios se alejan de la «crankería» y has dado en la clave de la diferencia entre dos formas de hacer matemático. Por ejemplo, la del infinito potencial que biyecta
con
para todo
natural y la del infinito actual que presupone construido
y lo biyecta con
.
Lo de teorema este parece una perogrullada como la tierra de grande. Nuestra representación gráfica que determine los conjuntos en fin…
Alguna de las dieciseis personas que me ha votado negativo ya podría decir por qué motivo lo ha hecho, que ya les vale…
Ah, y gracias al que me ha votado positivo : )
A mí me enseñaron en la universidad esto de que unos infinitos eran más densos que otros, popularmente dicho como que «unos infinitos son más infinitos que otros», y desconozco si tiene aplicaciones prácticas o sólo son paranoias matemáticas, pero el tema siempre me ha parecido una infinita estupidez.
@Jose: ¿por qué te preocupas de los votos negativos? ¿qué tienen que ver matemáticas y democracia?
@mathful, no me parece mal la democracia; y mucho menos las matemáticas.
Pero me han dado nada menos que 16 negativos (de momento). El siguiente usuario que tiene más negativos solo tiene uno.
Lo que no entiendo es que con tanta unanimidad… Nadie dice por qué motivo vota negativo.
En estos momentos, incluido este comentario, hemos escrito en esta entrada 15 personas distintas. Yo no he emitido ningún voto y sospecho que Jose no se ha votado a sí mismo. Jose lleva 4 votos positivos y 20 negativos. Lo encuentro insólito. No veo nada anormal en su primera entrada que es la más vituperada por la audiencia. O pasa algo raro o me parece poco fiable el sistema de incluir la posibilidad de votar las entradas. A mi no me gusta, a no ser que los votos no sean obligatoriamente motivados explícitamente. Lo lógico es dejar que sean los… Lee más »
Gracias @JJGJJG por su apoyo.
Una pregunta sobre esto, el cardinal de un conjunto es un numero natural? Si lo es entonces el cardinal de los reales es un natural que no pertenece a los naturales, ya que el cardinal de los numeros naturales es menor que el cardinal de los reales…. o el cardinal de un conjunto no es un numero natural.
A mí tampoco me gusta lo de los votos, y por eso ni lo uso ni lo usaré. Como ha dicho mathful, esto no es una democracia. Además, puede pasar lo que creo que ha pasado con el comentario de Jose. Supongo que ha habido gente que no está de acuerdo con él, lo suficiente como para darle al botoncito rojo, que es muy fácil, pero no con la convicción necesaria como para atreverse a argumentar. Otra cosa es que yo esté de acuerdo con el comentario de Jose, que no es el caso. Ahora, claro, no me queda más… Lee más »
Gracias Sive por considerar el tema y tomarte tu tiempo para responder. Yo creo más bien que el razonamiento en dos frases: «Si es indemostrable es que es imposible encontrar un contraejemplo. Y si es imposible encontrar un contraejemplo, es que es verdadero.» es impecable. Pensémoslo dos veces. Lo que realmente sucede es que no se puede afirmar de una hipótesis que sea «indemostrable». Y si se afirma; como hacen Gödel y Cohen, es porque se trata de un axioma más a añadir al sistema, como lo fue en su día el axioma de las paralelas… (Infinitas o única). Como… Lee más »
Sive muy bueno… Jose no te entiendo, ¿has leído lo de la lencería femenina?
Otro ejemplo: me he comprado un décimo de lotería de navidad, formulo la hipótesis, »mi décimo va a resultar premiado» ¿es demostrable (a día de hoy)? Obviamente, no. Por desgracia, eso no quiere decir, que me toque la lotería.
Tengo poca idea de lógica o axiomática o como se llame. Pero quiero aportar mis probablemente erróneas ideas sobre la indemostrabilidad. Creo firmemente que la semántica está detrás del 90% de los argumentos en algunas discusiones. No acepto la idea de «probablemente indemostrable» pero acepto la de «difícilmente demostrable». Es el caso de la conjetura de Goldbach, por el momento, o del último teorema de Fermat hasta hace algún tiempo. (Personalmente nunca he creído que Fermat tuviera una demostración «correcta»). En física estamos habituados a aceptar como válidas hipótesis no probadas precisamente por no encontrar contraejemplos. Gracias a ello progresa… Lee más »
@JJGJJG La cuestion sobre si Fermat tenia o no una demostracion yo creo que si la tenia, pero como ha pasado con algunas de mostraciones de «tiempos preteritos», no son demostraciones formales de acuerdo a la matematica actual asi que al contrario de lo que dices, (creo que) si tenia una demostracion «correcta» pero no una correcta.
JJGJJG, la hipótesis del continuo es indemostrable, de eso va esta entrada.
Jose, he estado pensando en tu último comentario y ya te entiendo. Creo que el problema está en la definición de indemostrabilidad. Antes de nada, decir, que nunca he estudiado lógica a fondo, así que lo más seguro es que »patine» en algo. Según tu razonamiento, si una hipótesis es falsa, significa que existe un caso en el cual no se cumple, por tanto es demostrable. Que dicho de otra forma, significa, que si una hipótesis no es demostrable entonces es verdadera. Un ejemplo, supongamos que en la definición de anillo no se incluye la propiedad distributiva, entonces ¿es demostrable… Lee más »
Por cierto, partiendo de una hipótesis falsa, todo es demostrable. Por ejemplo, partiendo de
voy a demostrar que me va a tocar la lotería:
Si
entonces
y en general
para todo
.
Supongamos que mi décimo de lotería es el
-ésimo, y el premiado es el
-ésimo. Como
, mi décimo será el premiado.
A ver, eso sí, si una hipótesis no es demostrable en una teoría axiomática, podemos crear una nueva teoría axiomática con la hipótesis como axioma, o también podemos hacer lo mismo pero añadiendo su negación, o sencillamente podemos olvidarnos de la hipótesis. Pero no podemos apresurarnos a decir que si algo no es demostrable, automáticamente es verdadero. Ya di un argumento muy fuerte contra esto, haciendo eso, estaríamos obligados admitir como axiomas tanto cada nueva hipótesis como su negación. El resultado ya sabemos cual es: que yo soy el Papa de Roma. El tema de la incompletitud que menciona RB… Lee más »
En definitiva, indemostrable no implica verdadero, lo que implica es que se puede añadir como axioma, y por tanto, en la nueva teoría con el axioma añadido sí sería cierto.
Recuerdo, que según el teorema de incompletitud de Gödel existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas.
Pero es tan legítimo añadir la hipótesis, como añadir su negación, como no añadir ni una cosa ni la otra. El resultado en cada uno de los tres casos serán estructuras abstractas consistentes, y con tanto derecho a ‘existir’ (ejem) como las otras dos.
JJGJJG, el caso de la conjetura de Goldbach, en caso de ser falsa existiría un primer número natural que no cumple la conjetura, por tanto, comprobando uno a uno hasta llegar a ese número, se obtendría una demostración de que la conjetura es falsa. Por tanto, de ser indemostrable su negación, la conjetura sería cierta. Supongamos que no se puede demostrar ni que es cierta ni que es falsa, entonces por lo anterior, la conjetura sería cierta y por tanto hemos obtenido una demostración de que es cierta, contradiciendo nuestra suposición. Por tanto, debe existir una demostración de que es… Lee más »
Un ejemplo para explicar lo que yo entiendo de todo esto: Se sabe desde tiempo inmemorial que x+y=7. Alguien plantea «la conjetura del dos», que quiere decir que x=2. Los matemáticos lo discuten durante siglos, unos creen que es cierta y otros que no. Al final, un matemático brillantísimo llega a la conclusión de que es indemostrable. Puede ser verdadera o falsa. De hecho, una forma de resolver la situación es añadir la ecuación x=2 (o su equivalente y=5) al sistema, con lo que se obtiene un sistema coherente y completo. Pero también se podría añadir la ecuación x=3 (ó… Lee más »
Creo que no se puede hablar de hipótesis indemostrables. Si fueran indemostrables sería imposible encontrarles un contraejemplo y por tanto serían verdaderas. Y si son verdaderas es evidente que NO podrían ser falsas. En todo caso se podría hablar de hipótesis independientes del sistema de axiomas conocido (como era independiente de los axiomas de Euclides el postulado de las paralelas que generó varios tipos de geometría: la euclidea (una sola paralela por un punto externo a una recta, que funciona bien en distancias cortas, y las no euclideas, más aplicables al universo a gran escala). Por otra parte Gödel demostró… Lee más »
Por favor, que alguien con una «mente lucida» me explique porqué o como se deduce que infinito=infinito+n.