Terminamos la serie de entradas dedicadas a las sumas trigonométricas con las que nos ha deleitado Fernando Chamizo en las últimas semanas. Esperamos que las hayáis disfrutado.

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Recordemos que nuestro objetivo era entender cualitativamente la forma tan curiosa de \mathcal{F}, los puntos \big\{\sum_{m=1}^k e(m^{3/2})\big\}_{k=1}^{N} con N=8000 (aunque no nos fijamos en este número porque cualquier otro N grande da algo similar). Para ello habíamos conseguido una aproximación bastante buena:

\displaystyle{ \sum_{m=1}^k e\big(m^{3/2}\big) \approx \frac{\sqrt{8}}{3} \sum_{0\le n\le \frac{3}{2}\sqrt{k}} \sqrt{n} \, e\Big( \frac{1}{8}-\frac{4}{27}n^3 \Big) }

que al unir los puntos prácticamente coincidía con \mathcal{F}. Dejándome llevar por la emoción había dejado caer que esto ya lo explica todo o casi todo.

Por cierto, recordemos antes de seguir qué imagen es esta a la que llamamos \mathcal{F}:

Figura \mathcal{F}, proveniente de f(m)=m^{3/2}

Seguro que el lector exigente, o quejica para más señas, aducirá que, sean cuales sean las ventajas, lo que hemos hecho es aproximar una suma oscilatoria por otra. Yo respondería que la segunda no oscila si uno lo mira con los ojos de módulo nueve pero eso suena a excusa, así que para acallar las quejas y para los que les dé repelús cambiar de ojos, debemos encontrar una función de las de toda la vida que aproxime

\displaystyle{ S_N= \sum_{0\le n < N}a_n\sqrt{n} \qquad\text{con}\quad a_n=e\Big(-\frac{4}{27}n^3\Big) \quad\text{y}\quad N\in\mathbb{Z}^+ }

Supongamos primero que N es múltiplo de nueve. Por la periodicidad a_n=a_{n+9} se tiene

\displaystyle{ S_N = \sum_{r=0}^8 \sum_{n=0}^{N/9-1} \sqrt{9n+r} \approx \sum_{r=0}^8 \Big( \int_0^{N/9} \sqrt{9x+r}\; dx + \frac{\sqrt{r}-\sqrt{N+r}}{2} \Big) }

donde se ha usado la regla del trapecio que da una buena aproximación de integrales por sumas (y viceversa en nuestro caso). Calculando la integral, y depreciando una constante aditiva, se obtiene

\displaystyle{ S_N\approx \sum_{r=0}^8 \Big( \frac{2}{27}(N+r)^{3/2} -\frac{1}{2}\sqrt{N+r} \Big) }

Con las aproximaciones de Taylor (1+r/N)^{3/2}\approx 1+3r/2N, \sqrt{1+r/N}\approx 1+r/2N y
\sum_{r=0}^8 a_r=3 (¿lo sabrías probar?) se sigue

\displaystyle{ S_N \approx \frac{2}{9} N^{3/2}+CN^{1/2} \qquad\text{con}\quad C= \sum_{r=0}^8 a_r\Big( \frac{r}{9} -\frac{1}{2} \Big) = -\frac{1}{2} +i1.468\dots }

Si N no es necesariamente múltiplo de nueve, entonces tomamos el múltiplo de nueve \widetilde{N} más cercano inferior a él y el resto al dividir por nueve r=N-\widetilde{N}. Los r términos que nos sobran están multiplicados prácticamente por la misma cantidad, ya que \sqrt{n} y \sqrt{n+r} son casi iguales para n grande. Con ello tenemos la siguiente aproximación sencilla y precisa de S_N:

\displaystyle{ S_N \approx \frac{2}{9} \widetilde{N}^{3/2} +C_r \widetilde{N}^{1/2} \qquad\text{con}\quad C_r=C+ \sum_{0 \le n < r} a_r }

Para el que le gusten los cálculos aquí va una tabla que da las constantes C_0,\dots, C_8 con bastantes dígitos. Por supuesto, C_0 es la C que ha aparecido antes:

\begin{array}{cc} \begin{array}{l|c|c|} & \text{Parte real} & \text{Parte imaginaria} \\ \hline C_0 & -1/2 & 1.1468928664 \\ \hline C_1 & 1/2 & 1.1468928664 \\ \hline C_2 & 1.0971585917 & 0.3447696736 \\ \hline C_3 & 1.4932383577 & -0.5734464332 \\ \hline C_4 & 2.4932383577 & -0.5734464332 \\ \hline \end{array} \quad\ &\quad\ \begin{array}{l|c|c|} & \text{Parte real} & \text{Parte imaginaria} \\ \hline C_5 & 3/2 & -0.6895393473 \\ \hline C_6 & 0.5067616422 & -0.5734464332 \\ \hline C_7 & 1.5067616422 & -0.5734464332 \\ \hline C_8 & 1.9028414082 & 0.3447696736 \\ \hline \end{array} \end{array}

Y al que le guste un festín de fórmulas, todo lo que hemos hecho se traduce en la aproximación

\displaystyle{ \sum_{m=1}^k e\big(m^{3/2}\big) \approx \frac{2}{3}(1+i) \Big( \frac{2}{9}K^{3/2}+C_rK^{1/2} \Big) }

donde

\displaystyle{ K= 9 \Big\lfloor \frac 19\big(\frac{3}{2}\sqrt{k}+1\big) \Big\rfloor \qquad\text{y}\qquad r= \Big\lfloor \frac{3}{2}\sqrt{k}+1 \Big\rfloor-K }

donde \lfloor x \rfloor es la función parte entera de x. No dibujo esta aproximación y su comparación con \mathcal{F} porque lo que resulta es casi indistinguible a simple vista de las figuras del anterior post. Con esta fórmula vemos claramente que al tomar k términos en nuestra suma parcial, obtenemos algo parecido a \frac{2}{9} \sqrt{\frac 32} (1+i)k^{3/4}, que está en la diagonal del primer y tercer cuadrante, con una perturbación de orden k^{1/4} asociada a las constantes C_r.

A pesar del triunfo que supone haber logrado esta aproximación, el quejica puede atacar de nuevo y decir que esta función no reproduce los detalles de la figura \mathcal{F}. Por ejemplo, las líneas curvas que unen las acumulaciones de puntos y que parecen enrollarse en ellas. Sí, uno puede decir que hemos aproximado bien casi todos los puntos de \mathcal{F}, pero el quejica tiene razón. Estudiar esas curvas requiere más precisión.

Un buen ejemplo donde ver estos ajustes finos está en The graphs of exponential sums, de J. H. Loxton ([Lox83]). Es un artículo de investigación, por lo que leerlo requiere ponerse en modo de titán para arriba. Un artículo, también de investigación pero en el que uno puede disfrutar como en los tebeos (solo mirando las estampas), es , de W. Duke, S. R. García y B. Lutz ([DGL15]). Es más difícil hacer un programa que dibuje las sumas allí consideradas pero el resultado merece la pena.

Referencias

  • [CR15] F. Chamizo and D. Raboso. Van der Corput method and optical illusions. Indag. Math. (N.S.), 26(5):723–735, 2015.
  • [DGL15] W. Duke, S. R. Garcia, and B. Lutz. The graphic nature of Gaussian periods. Proc. Amer. Math. Soc., 143(5):1849–1863, 2015.
  • [Lox81] J. H. Loxton. Captain Cook and the Loch Ness monster. James Cook Mathematical Notes, 27:3060–3064, 1981.
  • [Lox83] J. H. Loxton. The graphs of exponential sums. Mathematika, 30(2):153–163 (1984), 1983.
  • [Mon94] H. L. Montgomery. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis, volume 84 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 1994.
  • [Ric92] N. Richert. Strang’s strange figures. Amer. Math. Monthly, 99(2):101–107, 1992.
  • [Sog17] C. D. Sogge. Fourier integrals in classical analysis, volume 210 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2017.

La imagen principal es la representación de la colección de puntos \big\{(n,sen (n(\frac{\pi}{\pi+5})))\big\}_{n=1}^{5000}.

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