La semana de la cúbica: La historia de su resolución

Introducción

En todos los ámbitos del conocimiento se pueden encontrar episodios de controversia a la hora de atribuir un descubrimiento o una invención. El mundo de las matemáticas no está, ni mucho menos, a salvo de ello. Quizás uno de los más conocidos es la invención del cálculo, con el enfrentamiento entre Newton y Leibniz. Otro ejemplo también muy famoso fue la resolución de la ecuación cúbica, es decir, la solución general de la ecuación . La historia que rodea este hecho va a ser el eje central de este artículo.

La historia de la resolución de la cúbica

En el año 1545 Girolamo Cardano publica Ars Magna, en el que presenta la solución general de la ecuación cúbica y la de la cuártica. Dicha publicación causó tal impacto en el mundo del álgebra que generalmente se considera el año 1545 como el que marca el período moderno en matemáticas. Pero, ¿fue Cardano el verdadero descubridor de los métodos de resolución de dichos tipos de ecuaciones?

Durante el siglo XV el dominio del álgebra estaba creciendo en Europa gracias a la difusión de los escritos procedentes de los árabes (grandes conocedores de esta rama). Mucha gente comenzó a estudiarla y muchos llegaron a dominarla tanto como para impartir clases sobre ella. Algunos métodos árabes se mejoraron en esta época y se añadieron nuevos casos y problemas. Pero el estudio de la ecuación (escrita en forma moderna) seguía resistiéndose. Hasta había matemáticos, como Luca Pacioli, que aunque no decían que el problema no tenía solución sí lo comparaban con problemas tipo la cuadratura del círculo.

A mediados del siglo XVI, Niccolo Fontana, llamado Tartaglia por su condición de tartamudo, se trasladó a Venecia. Tartaglia llegó a ser famoso en la zona por sus trabajos realizados para los ingenieros del Arsenal veneciano.

Estando en la ciudad de los canales llegó a sus oídos que un tal Antonio Maria del Fiore presumía de conocer la fórmula maravillosa para resolver la ecuación cúbica. Dicha fórmula, según del Fiore, le había sido entregado por parte de un gran matemático 30 años antes. El hecho de que existiera alguna posibilidad de resolver la cúbica llevó a Tartaglia a trabajar en el desarrollo de un método de resolución, consiguiéndolo algo después.

A raíz de la noticia de este descubrimiento se organizó un desafío público entre del Fiore y Tartaglia. Aunque el primero de ellos era un matemático más bien mediocre, aceptó el desafío (puede que confiado por la fórmula maravillosa que poseía). Cada uno de ellos propuso 30 cuestiones al otro contendiente que tenían que ser resueltas en un tiempo concreto. Los de Tartaglia trataban sobre temas aritméticos, geométricos y algebraicos. Lo de del Fiore tenían todos la misma temática: ecuaciones cúbicas sin término de grado dos. Cuando llegó el día fijado para la presentación de las soluciones, Tartaglia había resuelto todos los problemas propuestos por del Fiore, pero éste no había podido dar respuesta a ninguna de las cuestiones propuestas por Tartaglia. Ni siquiera uno en el que se debía resolver una ecuación cúbica, para la que Tartaglia conocía un método particular.

INCISO:

¿Por qué del Fiore no supo resolver dicha ecuación cúbica? Posiblemente porque la siguiente razón:

En la actualidad todas las ecuaciones cúbicas son para nosotros esencialmente iguales a la hora de estudiarlas. Todas son de la forma , con . Pero en aquella época, dado que los números negativos no estaban demasiado aceptados, había tantas ecuaciones cúbicas como posibilidades hay de colocación de cada uno de sus términos a un lado o al otro de la igualdad. Por ejemplo, y eran dos ecuaciones distintas, con métodos de resolución diferentes.

La noticia del desafío y de la aplastante victoria de Tartaglia llegó a oídos de Cardano, que prometió buscarle alguien que lo patrocinara en el futuro (Tartaglia no tenía en aquella época ningún apoyo) a cambio de que le revelara el método de resolución de la cúbica, además de nombrarle en Ars Magna como descubridor de la misma. A pesar de estas promesas Tartaglia no accedió a compartir su tesoro con Cardano.

Pero la resistencia de Tartaglia no duró mucho. En 1539 Cardano invita a Tartaglia a pasar unos días con él en Milan y nuestro amigo Niccolo Fontana acaba cayendo: revela a Cardano los métodos de resolución de las tres formas en las que puede presentarse una ecuación cúbica sin término de segundo grado (a saber, y ) a condición de que éste no los publique.

Cardano comienza en ese mismo instante a estudiar la fórmula de Tartaglia junto con su ayudante Ludovico Ferrari. Poco después consigue resolver la cúbica en su forma general, es decir, de la forma , reduciéndola mediante una transformación a uno de los tres tipos anteriores.

Pero había un pequeño problema: en ciertas ecuaciones que parecían normales aparecían soluciones en las que se podía encontrar una raíz cuadrada con radicando negativo (estas ecuaciones son las que más adelante se llamarían irreducibles). Teniendo en cuenta que, como hemos comentado antes, en esta época ni siquiera los números negativos estaban demasiado aceptados, la aparición de este tipo de soluciones se veía como algo bastante extraño.

Quizás por eso Cardano y Ferrari viajaron a Bolonia en 1542. En este punto de la historia es donde entra el gran héroe de este artículo: Scipione del Ferro. Él fue realmente quien encontró la fórmula de la resolución de la cúbica (Tartaglia también encontró métodos de resolución, pero se cree que dichos métodos no fueron descubiertos totalmente por él, sino que la idea provenía de alguna fuente anterior; de hecho se sabe que Tartaglia tendía a atribuirse ciertas publicaciones suyas cuando en realidad no lo eran). De hecho del Ferro fue el gran matemático que reveló a del Fiore (que era alumno suyo) la fórmula. También compartió su descubrimiento con Annibale della Nave, su propio yerno.

INCISO:

La publicación de la resolución de la cúbica habría proporcionado a del Ferro fama y prestigio. ¿Por qué Scipione del Ferro no dio a conocer su descubrimiento? En aquella época los desafíos entre matemáticos eran muy habituales. A veces el prestigio era lo único en juego, pero en ocasiones llegaban a jugarse hasta la cátedra. Ser la única persona que conocía tal fórmula significaba tener un arma muy potente a la hora de afrontar dichas contiendas.

Cuando del Ferro estaba a punto de morir compartió su descubrimiento con della Nave (posiblemente por que era su yerno y eso le proporcionaba un futuro a él y a su hija) y a del Fiore. No se sabe muy bien por qué reveló su secreto a este último.

El viaje de Cardano y Ferrari tenía como propósito pedir permiso a della Nave para consultar las notas de del Ferro en busca de información sobre las ecuaciones irreducibles. En el transcurso de esta búsqueda encontraron el método de resolución de la cúbica reducida que del Ferro había descubierto. Dicho método era el mismo que el que Tartaglia le había confiado a Cardano, por lo que éste se vio con total libertad para publicarlo.

Ars Magna fue una revolución en su momento. Contenía una gran cantidad de avances, entre ellos el método de resolución de la cúbica y un método de resolución de la ecuación cuártica (mediante una transformación que la reducía a una cúbica) que descubrió Ferrari. Aunque Cardano nombró hasta tres veces a Tartaglia en su obra, éste se sintió traicionado por la publicación de su método de resolución.

La respuesta de Niccolo fue publicar un libro un año después que contenía su fórmula, además de ataques a Cardano, pero éste no respondió. El que sí dio respuesta a dichos ataques fue Ferrari mediante un cartel (que envió a todos los matemáticos conocidos de la época) en el que acusaba a Tartaglia de plagio y donde además le retaba a un desafío público. La respuesta de Niccolo no se hizo esperar: en otro cartel pedía que el reto lo afrontara Cardano, no su discípulo. A partir de aquí el envió de carteles continuó hasta que el 21 de abril de 1547 Tartaglia envía un cartel con 31 problemas para que su contrincante los resuelva. Ferrari le contesta el 24 de mayo del mismo año con otros 31 problemas. Al final Tartaglia acepta el duelo, celebrándose éste el 10 de agosto de 1548 en Milán.

Este reto fue un auténtico acto social. A él acudieron gran cantidad de personalidades de la ciudad, aunque se notó la ausencia de Cardano. En un momento del mismo comenzó una discusión por un problema propuesto por Ferrari que Tartaglia no había resuelto. Esto conllevó a un aplazamiento del desafío hasta el día siguiente. Pero Tartaglia no se presentó, por lo que se dio por ganador a Ferrari. Más tarde Tartaglia escribió que el acoso de la multitud, favorable a Ferrari, influyó en el resultado.

El final de esta historia es la vuelta de Tartaglia a Brescia, su ciudad natal.

Fuentes:

• Historia de la Matemática, de Carl B. Boyer.
• Trabajos de mi carrera.
• La imagen de Ludovico Ferrari la he tomado de aquí.
• La imagen de Scipione del Ferro la he tomado de aquí.