Las matemáticas nunca dejarán de sorprenderme. En cualquier lugar puedes encontrarte una cuestión interesante, una relación curiosa o una propiedad inesperada de algún número, alguna función o alguna figura. Particularmente conozco un buen número de ejemplos de este tipo (muchos de ellos os los he comentado en este blog), y en este post vamos a añadir uno más a la lista: la constante de Khinchin.

Vamos a comenzar presentando esta constante de Khinchin. Es la siguiente:

K_0=2.685452001065306445309714835481795693820382293994462 \ldots

Para poder explicar de dónde sale dicho número y hablar sobre sus propiedades necesitamos antes recordar algunas cosas sobre fracciones continuas. Una fracción continua es una expresión del tipo siguiente:

a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}}

donde a_0 es un número entero y a_1, \ldots , a_n, \ldots son números enteros positivos. Suele abreviarse de la forma [a_0;a_1, \ldots , a_n, \ldots ] (la expresión podría ser finita o infinita).

Como podéis ver, en la expresión anterior todos los numeradores son 1, pero seguro que en alguna ocasión habéis visto una fracción continua con otros números en el numerador. Bien, cuando todos son 1 la fracción continua se llama regular, y cuando permitimos otros números se denomina generalizada. En este post podéis encontrar más información sobre ellas, en este otro tenéis fracciones continuas de números muy conocidos y aquí una interpretación combinatoria de las mismas.

Una de las principales propiedades de las fracciones continuas es que todo número real puede expresarse como una fracción continua regular. Es decir, podemos expresar todo número real de la forma [a_0;a_1, \ldots, a_n, \ldots ]. Olvidémonos de a_0 y quedémonos con los a_i desde i=1 hasta i=n. Ahora calculemos la media geométrica de esos términos, es decir:

(a_1 \cdot \ldots \cdot a_n)^{1/n}

y después el límite de esa expresión cuando n a infinito. Entonces, casi siempre ocurre lo siguiente:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} (a_1 \cdot \ldots \cdot a_n)^{1/n}=K_0}

Es decir, el límite de la media geométrica de los a_i desde i=1 hasta i=n casi siempre (esto es, para casi todos los números reales) vale K_0, la constante de Khinchin. Tremendo, ¿verdad?

Aleksandr Khinchin

Este resultado lo demostró Aleksandr Khinchin (en ocasiones escrito Khintchine), matemático soviético de la primera mitad del siglo XX (nació en 1894 y murió en 1959) que trabajó en múltiples áreas de las matemáticas y la física: análisis real, teoría de la probabilidad, teoría de números o física estadística. Podéis encontrar más información sobre él aquí y aquí (web de la que he tomado la foto de Khinchin).

Bien, posiblemente la primera pregunta que os ha surgido a la mayoría de los que habéis leído hasta aquí es ésta: ¿qué significa eso de casi siempre? Pues significa, como comenté antes, para casi todos los números reales. Y ese casi lo que nos dice es que el conjunto de números para los cuales no se cumple la propiedad anterior es un conjunto de medida nula, que viene a ser un conjunto que aunque puede ser infinito (como veremos que ocurre en este caso) tiene muy pocos elementos.

Es interesante destacar que aunque esta propiedad la cumplen casi todos los números reales no se ha probado para ningún número en concreto (¡¿?!). Lo que sí se conocen son excepciones, es decir, números de los que se sabe que no la cumplen. Por ejemplo, los racionales no cumplen dicha propiedad. Y tampoco algunos números irracionales como el número \sqrt{2}, el número áureo \phi o el número e.

Por otra parte, se conjetura que otros números irracionales (o que se sospecha que lo son) también muy conocidos sí que la cumplen, aunque no se sabe con certeza (recordad que hemos dicho que no se ha demostrado esta propiedad explícitamente para ningún número concreto). Por ejemplo, se cree que el número \pi (que sí se sabe que es irracional) cumple esta propiedad, y también la constante de Euler-Mascheroni \gamma (aunque no se sabe si este número es irracional).

Pero quizás lo más llamativo de todo este tema es que se cree (no está probado, pero los indicios apuntan a ello) que el propio K_0 cumple esta propiedad. Es decir, que si expresamos K_0 como una fracción continua y calculamos el límite de la media geométrica de los correspondiente valores a_i el resultado sería de nuevo el propio K_0. No sé a vosotros, pero a mí estoy me parecería absolutamente maravilloso.

Por otra parte, tampoco se sabe si K_0 es un número racional, un número irracional algebraico o un número trascendente. Y, por tanto, tampoco si es o no un número normal, aunque también en este caso los indicios apuntan a ello. En la siguiente tabla podéis ver el número de apariciones de los números 0, 1,…,9 en los primeros 10^n decimales, para n de 1 a 5:

Como podéis ver, parece que conforme n va siendo mayor la frecuencia de cada uno de los números de una cifra se va pareciendo bastante. Pero lo dicho, no hay ni demostración ni refutación sobre la normalidad de K_0.

El límite antes mencionado no es ni mucho menos la única manera de representar K_0 que se conoce. Hay muchas otras que involucran a series infinitas, como ésta:

K_0=\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left [ 1+ \cfrac{1}{n(n+2)} \right ] ^{\frac{log(n)}{log(2)}}}

Y también se conocen algunas relacionadas con integrales, como ésta:

log(K_0)=\displaystyle{\int_0^1 \cfrac{log(\lfloor x^{-1} \rfloor}{(x+1) log(2)} \, dx}

Y para terminar vamos a responder a una pregunta que posiblemente os habéis hecho muchos de vosotros: ¿por qué se llama a esta constante K_0? Bueno, la K es, como cabía esperar, por ser la inicial de Khinchin. ¿Y el subíndice 0? Pues muy sencillo: porque K_0 es simplemente un caso particular de una clase de medias de ese tipo, K_p, definidas de la siguiente forma:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left ( \cfrac{ a_1^p+a_2^p+ \ldots +a_n^p}{n} \right )^{1/p}}

Se puede demostrar que para p \rightarrow 0 (que sería el caso de la constante de Khinchin) obtenemos K_0 tal cual lo hemos definido al principio de este artículo. Otro valor destacable de esta clase de medias es el que se obtiene para p=-1, y que se denomina media armónica de Khinchin:

K_{-1}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{n}{a_1^{-1}+a_2^{-1}+ \ldots +a_n^{-1}}}=1.7454056624073468634 \ldots

Con este artículo sobre la constante de Khinchin espero haberos descubierto algo nuevo, tanto a los que no tenéis muchos conocimientos matemáticos como a los que estáis más metidos en el tema. Para todos, en los enlaces que aparecen debajo de este párrafo podréis encontrar más información sobre esta sorprendente constante.

Fuentes y más información:

Esta es la primera contribución de Gaussianos a la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene como anfitrión a @cuantozombi en su blog El zombi de Schrödinger.

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