La sucesión de Golomb y una aparición “dorada”

El mundo de las matemáticas es apasionante por muchas razones, y una de las principales (bajo mi punto de vista) es la aparición de objetos matemáticos conocidos en los lugares más insospechados. Eso es lo que ocurre en la conocida como sucesión de Golomb, de la cual vamos a hablar en esta entrada.

La sucesión de Golomb (que también se conoce como sucesión de Silverman), es una sucesión no decreciente de enteros positivos en la que cada término a_n indica el número de veces que aparece el número n en dicha sucesión. Comienza con a_1=1, y el resto de valores a_k corresponden al entero positivo que haga que se satisfaga la condición anterior.

Su nombre se debe a Solomon Golomb, un matemático, ingeniero y profesor estadounidense nacido en 1932.

Solomon Golomb

Además de dar nombre a esta sucesión, Golomb inventó el juego Cheskers, una variante ajedrecística de las damas, en 1948, y describió los poliominós y los pentóminos en 1953. Más información en Solomon W. Golomb en la Wikipedia en inglés.

Vamos a ir construyendo la sucesión de Golomb paso a paso. Como a_1=1, tenemos que el 1 aparece una única vez en la sucesión. Por tanto, a_2 no puede ser 1, por lo que debe ser a_2=2. Eso indica que el 2 aparece dos veces en la sucesión, por lo que es obligatorio que a_3=2. Ya tenemos nuestras dos apariciones del 2, pero a_3=2 indica que el 3 también debe aparecer dos veces, por lo que es necesario que a_4=3 y a_5=3. Ahora, a_4=3 nos dice que el 4 debe aparecer 3 veces, por lo que los tres siguientes valores deben ser 4; y a_5=3 indica que el 5 también aparece 3 veces, lo que nos lleva a que los siguientes 3 valores deben ser igual a 5…y así sucesivamente.

Los primeros valores de la sucesión de Golomb (A001462 en la OEIS) son los siguientes:

\begin{matrix} 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, \\ 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, \\ 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, \\ 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, \\ 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, \\ 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, \\ 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19 \end{matrix}

Como veis, no es demasiado complicado describir los elementos de esta sucesión, pero no nos vendría mal una relación de recurrencia que nos ayude, ¿verdad? Pues la hay. Se debe a Colin Mallows, y es la siguiente:

\begin{matrix} a(1)=1 \\ \\ a(n+1)=1+a(n+1-a(a(n))) \end{matrix}

Interesante, ¿verdad? Pues queda lo mejor: tenemos una maravillosa expresión asintótica para a_n. Se ha demostrado que, cuando n \to \infty:

a_n \xrightarrow{n \to \infty} \phi^{2-\phi} \cdot n^{\phi-1}

siendo \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} el número áureo, el número de oro. ¿No es magnífico?

Podéis ver demostraciones de este resultado aquí. En la siguiente imagen os dejo una de ellas:

Por cierto, sobre esta demostración un apunte. En la misma se calcula que

a=\left (\phi-1 \right )^{\frac{-1}{\phi+1}}

Pero después “parece” que se da otro valor (en la solución final). Bien, podéis comprobar vosotros mismo que ambos valores son iguales, es decir:

a=\left (\phi-1 \right )^{\frac{-1}{\phi+1}}=\phi^{2-\phi}

Si queréis más datos sobre cómo de buena es esta aproximación asintótica, podéis echar un vistazo a The error term in Golomb’s sequence, de Ilan Vardi. También presenta un método eficiente para calcular valores grandes de la sucesión de Golomb.


Como decía al principio, es magnífico ver cómo números tan bellos como \phi aparecen de manera inesperada en un sitio como éste, la sucesión de Golomb, al cual parecía no estar invitado. Cosas así siempre me recuerdan a la curiosa, y también inesperada, aparición de \pi en el conjunto de Mandelbrot, de la que hablé en Pi y el conjunto de Mandelbrot. ¿Conocéis más casos parecidos a estos?


Tuve conocimiento de esta sucesión a través del vídeo Six sequences, de Numberphile, del cual también saqué información para escribir La sorprendente constante de Khinchin en octubre de 2014.

Foto de Golomb tomada de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

3 Comentarios

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  1. Acabo de encontrar con Google tu entrada :
    https://gaussianos.com/generando-ternas-pitagoricas/
    en la que explicas que a=u*v+v^2; b=u*v+(u^2)/2; c=b+v^2 (u par; v impar; gcd(u,v) = 1). es la misma que la solución habitual. Yo la hallé de la siguiente forma más compleja, lo que me llevó a pensar (erróneamente) de que pudiera ser una solución distinta. Es la misma :

    **Resolvamos a^2 + b^2 = c^2 con b = a + k —> a = (-k +/- sqrt(k^2 -2(K^2-c^2))) / 2
    —> 2c^2 – k^2 = h^2 —> {a = (-k + h) / 2 y k^2 + h^2 = 2c^2}
    Según la página web de Tito Piezas la ecuación ax^2 + by^2 = cz^2 se resuelve usando la identidad : ax^2+bxy+cy^2+dz^2 = (am^2+bmn+cn^2+dp^2)(u^2+cdv^2)^2 donde
    {x,y,z} = {mu^2+cdmv^2, nu^2-2pduv-d(bm+cn)v^2, pu^2+(bm+2cn)uv-cdpv^2}
    y {m,n,p} es una solución particular.
    Par el caso k^2 + h^2 – 2c^2 = 0, una solución particular es (m,n,p) = (1,1,1) y (a,b,c,d) = (1,0,1,-2) —> {x,y,z} = {k,h,c} = {u^2-2v^2, u^2+4uv+2v^2, u^2+2uv+2v^2} —>
    (a,b,c) = (uv+v^2, uv+u^2/2, b+v^2) (u par, v impar, gcd(u,v) = 1). Nueva forma de solución, que yo sepa.**

    ¿¿ Cual sería una solución *completa* para a^2+b^2 = c^2 + d^2 ??

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