¿Tienes un montón de pelotitas esféricas 8-dimensionales en el garaje y no sabes cuál es la mejor manera de colocarlas? Bien, pues tu problema (parece que ya) está resuelto: ya se sabe cuál es la forma más eficiente de disponer esferas 8-dimensionales.

En el trabajo The sphere packing problem in dimensión 8 (publicado hace apenas un par de semanas), la matemática Maryna S. Viazovska (de la Berlin Mathematical School y de la Humboldt University, también de Berlín) demuestra lo siguiente:

No hay ningún empaquetamiento de esferas unidad en dimensión 8 que tenga densidad mayor que la que da la red E_8

Maryna Viazkovska

Vamos a explicar un poco de qué va todo este tema.

El sphere packing problem (o problema de empaquetamiento de esferas) consiste en encontrar la manera más eficiente de colocar esferas unidad (de radio 1), entendiendo por más eficiente a la disposición que deje una menor cantidad de espacio vacío entre ellas (es decir, la más densa). Este problema, que puede estudiarse en cualquier dimensión, ha interesado a la comunidad matemática desde hace un buen puñado de años.

Para n=1, nuestro espacio \mathbb{R} es una recta y nuestras esferas unidad son intervalos de amplitud (diámetro) 2. En este caso podemos rellenar la recta completa con intervalos sin dejar huecos, por lo que, si llamamos \Delta_n a la densidad de la colocación más eficiente en \mathbb{R}^n, se tiene claramente que \Delta_1=1

En el caso n=2, tenemos que \mathbb{R}^2 es un plano y la esfera unidad es un círculo de radio 1. Aquí se sabe que la disposición más densa es una como la siguiente:

Joseph Louis Lagrange, en 1773, fue el primero en probar que esta disposición era la disposición regular más densa en dos dimensiones. Axel Thue, a principios del siglo XX, probó que también era la más densa aun considerando también disposiciones irregulares, pero dicha demostración se consideró incompleta. Sobre 1940, László Fejes Toth dio una demostración que, ahora sí, se considera correcta.

Por cierto, la densidad de esta disposición, llamada empaquetamiento hexagonal, es:

\Delta_2=\cfrac{\pi}{\sqrt{12}} \approx 0.90690

Es decir, con este empaquetamiento cubrimos algo más del 90% del plano.

Para n=3, tenemos que \mathbb{R}^3 es el espacio tridimensional que todos conocemos y la esfera unidad es un esfera maciza tridimensional de radio 1. En este caso, la disposición más densa es la denominada empaquetamiento compacto, que podríamos definir como la colocación más habitual de naranjas que podemos encontrar en una frutería:

Este problema es conocido como la conjetura de Kepler, y fue planteada por Johannes Kepler en 1611. La densidad de esta disposición es:

\Delta_3=\cfrac{\pi}{\sqrt{18}} \approx 0.74048

Esto es, dicha colocación ocupa algo menos del 75% del espacio tridimensional.

En 1831, Gauss demostró que ésta es la mayor densidad siempre que la disposición de esferas sea regular (es decir, siempre que la colocación de las mismas siga un patrón), pero todavía quedaba por ver si también superaba a las disposiciones irregulares. En 1998, Thomas Hales concluyó la demostración, no sin polémica por el uso del ordenador. Os recomiendo que leáis La conjetura de Kepler para más detalles de esta historia.

Y hasta ahora no se había encontrado la disposición más densa para ninguna otra dimensión. Para n=8 se sabía que la red E_8 era la disposición periódica más densa, pero no sabíamos si había alguna no periódica que fuera más densa que ella. Maryna Viazkovska se ha encargado de demostrar que no es así. La densidad de dicha disposición es:

\Delta_8=\cfrac{\pi^4}{384} \approx 0.25367

Es decir, en \mathbb{R}^8 sólo podemos aspirar a rellenar algo más del 25% del espacio con esferas unidad.

Ah, por cierto. Seguro que os preguntáis qué es la red E_8, ¿verdad? Pues es el subgrupo discreto de \mathbb{R}^8 que puede definirse mediante el conjunto de puntos, \Gamma_8, siguiente:

\Gamma_8=\{(x_1, \ldots , x_8) \in \mathbb{Z}^8 \cup (\mathbb{Z} + \cfrac{1}{2})^8 \Bigg / \displaystyle{\sum_{i=1}^8 x_i \equiv 0 \; (\mbox{mod } 2)} \}

Tenéis más información en E_8 lattice (en la Wikipedia en inglés) y en los enlaces que encontraréis un poco más abajo.

Y como suele pasar en muchas ocasiones en matemáticas, un problema resuelto puede ayudar a resolver otros. En este caso, el trabajo de Viazkovska ha servido para que también se concluya la demostración para n=24. La propia Maryna junto con Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller y Danylo Radchenko prueban en The sphere packing problem in dimension 24 que la red Leech es la más densa dentro de \mathbb{R}^{24}, siendo su densidad la siguiente:

\Delta_{24}=\cfrac{\pi^{12}}{12!} \approx 0.00192

Y un apunte final. Por si alguien se lo pregunta, el sphere packing problem tiene aplicaciones prácticas, por ejemplo en los códigos de corrección de errores. Podéis consultar Communication and ball packing para más información.

Fuentes y enlaces relacionados:

Algunos enlaces de Gaussianos relacionados con estoys y otros empaquetamientos:

Esta entrada participa en la Edición 7.2 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog La aventura de la ciencia.

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