¿Tienes un montón de pelotitas esféricas 8-dimensionales en el garaje y no sabes cuál es la mejor manera de colocarlas? Bien, pues tu problema (parece que ya) está resuelto: ya se sabe cuál es la forma más eficiente de disponer esferas 8-dimensionales.
En el trabajo The sphere packing problem in dimensión 8 (publicado hace apenas un par de semanas), la matemática Maryna S. Viazovska (de la Berlin Mathematical School y de la Humboldt University, también de Berlín) demuestra lo siguiente:
No hay ningún empaquetamiento de esferas unidad en dimensión 8 que tenga densidad mayor que la que da la red
Vamos a explicar un poco de qué va todo este tema.
El sphere packing problem (o problema de empaquetamiento de esferas) consiste en encontrar la manera más eficiente de colocar esferas unidad (de radio 1), entendiendo por más eficiente a la disposición que deje una menor cantidad de espacio vacío entre ellas (es decir, la más densa). Este problema, que puede estudiarse en cualquier dimensión, ha interesado a la comunidad matemática desde hace un buen puñado de años.
Para , nuestro espacio
es una recta y nuestras esferas unidad son intervalos de amplitud (diámetro) 2. En este caso podemos rellenar la recta completa con intervalos sin dejar huecos, por lo que, si llamamos
a la densidad de la colocación más eficiente en
, se tiene claramente que
En el caso , tenemos que
es un plano y la esfera unidad es un círculo de radio 1. Aquí se sabe que la disposición más densa es una como la siguiente:
Joseph Louis Lagrange, en 1773, fue el primero en probar que esta disposición era la disposición regular más densa en dos dimensiones. Axel Thue, a principios del siglo XX, probó que también era la más densa aun considerando también disposiciones irregulares, pero dicha demostración se consideró incompleta. Sobre 1940, László Fejes Toth dio una demostración que, ahora sí, se considera correcta.
Por cierto, la densidad de esta disposición, llamada empaquetamiento hexagonal, es:
Es decir, con este empaquetamiento cubrimos algo más del 90% del plano.
Para , tenemos que
es el espacio tridimensional que todos conocemos y la esfera unidad es un esfera maciza tridimensional de radio 1. En este caso, la disposición más densa es la denominada empaquetamiento compacto, que podríamos definir como la colocación más habitual de naranjas que podemos encontrar en una frutería:
Este problema es conocido como la conjetura de Kepler, y fue planteada por Johannes Kepler en 1611. La densidad de esta disposición es:
Esto es, dicha colocación ocupa algo menos del 75% del espacio tridimensional.
En 1831, Gauss demostró que ésta es la mayor densidad siempre que la disposición de esferas sea regular (es decir, siempre que la colocación de las mismas siga un patrón), pero todavía quedaba por ver si también superaba a las disposiciones irregulares. En 1998, Thomas Hales concluyó la demostración, no sin polémica por el uso del ordenador. Os recomiendo que leáis La conjetura de Kepler para más detalles de esta historia.
Y hasta ahora no se había encontrado la disposición más densa para ninguna otra dimensión. Para se sabía que la red
era la disposición periódica más densa, pero no sabíamos si había alguna no periódica que fuera más densa que ella. Maryna Viazkovska se ha encargado de demostrar que no es así. La densidad de dicha disposición es:
Es decir, en sólo podemos aspirar a rellenar algo más del 25% del espacio con esferas unidad.
Ah, por cierto. Seguro que os preguntáis qué es la red , ¿verdad? Pues es el subgrupo discreto de
que puede definirse mediante el conjunto de puntos,
, siguiente:
Tenéis más información en lattice (en la Wikipedia en inglés) y en los enlaces que encontraréis un poco más abajo.
Y como suele pasar en muchas ocasiones en matemáticas, un problema resuelto puede ayudar a resolver otros. En este caso, el trabajo de Viazkovska ha servido para que también se concluya la demostración para . La propia Maryna junto con Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller y Danylo Radchenko prueban en The sphere packing problem in dimension 24 que la red Leech es la más densa dentro de
, siendo su densidad la siguiente:
Y un apunte final. Por si alguien se lo pregunta, el sphere packing problem tiene aplicaciones prácticas, por ejemplo en los códigos de corrección de errores. Podéis consultar Communication and ball packing para más información.
Fuentes y enlaces relacionados:
- Sphere packing in Dimension 8, por Frank Morgan.
is the Best, en The n-Category Café.
- A Breakthrough by Maryna Viazovska Leading to the Long Awaited Solutions for the Densest Packing Problem in Dimensions 8 and 24, en Combinatorics and more.
- Packing balls in higher dimensions, en Plus Magazine.
- ¿Cómo se empaquetan las naranjas? – La conjetura de empaquetamiento de esferas de Kepler, en Blog Proyecto Klein.
Algunos enlaces de Gaussianos relacionados con estoys y otros empaquetamientos:
- Las esferas besuconas, o el gran salto a la tercera dimensión.
- Pappus, Hales y Kelvin, Weaire y Phelan, o cómo rellenar el plano y el espacio de la manera más eficiente.
- El problema del empaquetamiento de cuadrados en un cuadrado.
Esta entrada participa en la Edición 7.2 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog La aventura de la ciencia.
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Información Bitacoras.com
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¡Vaya! Interesante resultado…¿Cambia el resultado si el espacio no es euclídeo? ¿Sabes algo de empaquetamientos de esferas en espacios con métrica diferente y si eso cambia las cosas?
¡Saludos y enhorabuena por el artículo! Me gusta bastante…
Para corrección de errores no se suele trabajar en R^n. Más bien sobre cuerpos finitos para los reed-solomon o en Z_2 para la mayoría de códigos. Aunque también se trabaja a veces sobre el anillo Z_4 porque hay algunos códigos con buenas propiedades ahí. Aún así, hoy en día ya tenemos códigos que rozan el límite de shannon, así que a nivel práctico eso no debería servir como justificación 😀
Me refería a métrica con signatura no euclidiana…Soy consciente de lo de los cuerpos finitos y anillos…De hecho yo uso alguno para generar mis propias claves cotidianas…Jajajajaja…Tengo también en mi lista de lecturas un libro sobre octoniones y otro de formas modulares…Pero no doy abasto…
Por cierto, ya que estamos con las curiosidades… http://www.thespectrumofriemannium.com/2012/12/28/log069-cpn-spheres-1836/ Recién añadido: el cociente de la masa del protón y el electrón es…9) , 6! times the volume of the 5D complex projective space . El Leech lattice, tiene una densidad de empaquetamiento curiosa, igual a la de una variedad de tipo CP(n) (complex projective) de tipo CP(12)…Y curiosamente Cliff(12), el grupo de Clifford de orden 12, también tiene una anomalía poco conocida…Que ya he comentado aquí y en mi blog… http://www.thespectrumofriemannium.com/2015/02/11/log158-ramanujans-equation/ Aunque al parecer a los matemáticos no le llama la atención lo de Cliff(12) porque me cerraron rápido la… Lee más »
Les he puesto a mis alumnos un problema relacionado con esto, optativo, para subir nota..xD
me pusieron una también y no sé como hacerla.