«Cuanto más llevas sin ganar, más probable es que ganes el siguiente». Esta afirmación, que podría parecer cierta, en realidad no tiene mucho sentido en términos de probabilidad. En los próximos párrafos analizaremos el porqué.

Antes de comenzar, quiero dejar claras las condiciones del tema que vamos a comentar. Lo que sigue se refiere a experimentos aleatorios independientes (es decir, su resultado en un momento dado no influye en el resultado del mismo experimento en otro momento, como puede pasar al lanzar un dado o una moneda) con un número finito de resultados en el que conocemos la probabilidad de cada uno de ellos.

Vamos al tema. Esta entrada me vino a la mente después de ver un tuit del famoso tuitero deportivo @2010MisterChip. Otro tuitero, @ScottiePeppino, le comentaba lo siguiente a raíz de una apuesta que el primero había realizado:

A lo que MisterChip contestaba lo siguiente

Si accedéis al mismo podéis ver mi respuesta

y algunas más de otros tuiteros. Todos intentábamos hacerle ver que había caído en una famosa falacia estadística, pero, hasta el día de hoy, la única respuesta que he visto de MisterChip es la siguiente (si hay alguna más decídmelo):

Si analizamos el tema de manera probabilística (entiendo que ésa era la intención de MisterChip al hablar de «estadística»), el asunto es como sigue: estamos ante un experimento aleatorio con dos posibles resultados (victoria de equipo de casa o victoria del equipo visitante, no consideramos el empate) en el que tenemos la probabilidad de cada uno de ellos (se podría hablar de cómo se determinan dichas probabilidades, pero eso es otro tema). Además, dichos resultados son independientes.

Si realizamos el experimento, podemos obtener cualquiera de los dos resultados. Imaginemos que gana el equipo de casa. Si volvemos a realizar el experimento, la pregunta es la siguiente: ¿ha aumentado la probabilidad de que gane el equipo visitante? La respuesta es NO. Para hacer un análisis probabilístico correcto, en este caso tenemos que considerar que el resultado obtenido en un enfrentamiento no influye en lo que pasará en el enfrentamiento siguiente (los resultados son independientes).

La creencia de que muchos resultados «hacia un lado» aumentan la probabilidad de que en la siguiente ocasión la cosa irá «hacia el otro lado» o, más en general, que los resultados obtenidos influyen en los siguientes (vamos, que el juego «tiene memoria») se denomina falacia del jugador. Uno de los ejemplos más conocidos de esta falacia es el caso que se dio el 18 de agosto de 1913 en una de las ruletas del casino de Monte Carlo. En aquella ocasión, la bolita cayó la friolera de ¡¡26 veces seguidas!! en el negro. Lo que ocurrió es que, a medida que iban saliendo «negros», los jugadores iban apostando cada vez más al «rojo», porque entendían que con tantas apariciones del negro era mucho más probable que en la siguiente tirada saliera rojo. Y no, esto no es así: la probabilidad de rojo no aumentaba en este caso. Tomando la ruleta como un juego de probabilidades, y dando un 0.5 al rojo y un 0.5 al negro (esto no exacto, pero para el caso en el que estamos nos vale), esas probabilidades se mantienen en cada tirada independientemente de lo que saliera en tiradas anteriores (la ruleta «no tiene memoria»). ¿Qué ocurrió? Pues no es difícil imaginarlo: el casino ganó muchísimo dinero en ese rato.

¿Por qué entonces pensamos de esta errónea manera (y, si somos jugadores, tan perjudicial para nuestro bolsillo)? Pues porque tendemos a pensar que si los resultados anteriores se desvían sustancialmente de lo que marcan las probabilidades, dicha desviación se corregirá pronto para dejarlo todo «como debe ser» (en este caso, mismo número de rojos que de negros). Eso es, a todas luces, falso. Y de este error por nuestra parte se aprovechan a veces los organizadores de este tipo de juegos, dándonos, por ejemplo, los números calientes y los números fríos (intentando así influir en nuestra percepción sobre las probabilidades de cada número en la siguiente tirada). De hecho, en juegos tipo la ruleta, en una situación como ésta de tantos «negros» seguidos podría ser más razonable pensar que dicha ruleta está «trucada» (premeditadamente o no, eso no es importante) para que salgan más «negros» que «rojos», por lo que quizás tendría más sentido volver a apostar al «negro» en la tirada siguiente (esta forma de razonar se conoce como principio de Hume).

Y un último detalle. Es también interesante distinguir entre «número de veces que se ha producido cada resultado» y «probabilidad de cada resultado». Que las probabilidades sean iguales no significa, ni mucho menos, que conforme aumentamos el número de realizaciones del experimento las veces en las que sale cada resultado tiendan a igualarse. Voy a poner un ejemplo para intentar explicar qué quiero decir:

Imaginemos que tiramos una moneda 100 veces y salen 40 caras y 60 cruces. En este caso, llevaríamos un 40% de caras y un 60% de cruces. Imaginemos que seguimos tirando la monda y llegamos a 1000 tiradas, obteniendo 460 caras y 540 cruces. Las probabilidades se van acercando, 0.46 para «cara» y 0.54 para «cruz», pero la distancia entre el número de veces de cada una es mayor (antes era 20 y ahora es 80).

Recordad: la probabilidades en estos casos se calculan dividiendo casos favorables entre casos posibles. Por ello, aunque las probabilidades se vayan igualando, la diferencia de las veces que sale cada uno de los resultados puede ser cada vez mayor.

Se ha escrito mucho sobre la falacia del jugador, y en internet podéis encontrar gran cantidad de artículos sobre el tema. Os dejo éste del maestro Adrián Paenza: La falacia del jugador.

Sobre la manera de determinar las probabilidades de cada uno de los resultados quería hacer un comentario. ¿Tiene sentido tomar los resultados anteriores entre ambos equipos para determinar dicha probabilidad? Si la respuesta es afirmativa, el hecho de que un equipo haya perdido los últimos enfrentamientos directos debería entonces, bajo mi punto de vista, hacer que la probabilidad de victoria del «perdedor habitual» baje respecto a estimaciones anteriores, pero nunca que suba. Y si no lo veis, ahí va un ejemplo:

Imaginemos que el Granada ha perdido 20 veces seguidas en el Bernabéu, y que «su» probabilidad de victoria era de 0.1. ¿Significa eso que si vuelven a jugar ahora en el Bernabéu tienen una probabilidad mayor de ganar?

Pues yo creo que no. A ver qué pensáis vosotros.

Y sobre el hecho de que los resultados anteriores puedan influir en la mente de los jugadores del equipo «perdedor habitual», cabrían las dos posibilidades. Podría ser de manera positiva (más ganas de romper la mala racha) o de manera negativa (como llevan muchos años perdiendo no se ven con capacidad de ganar). Pero eso significaría que introducimos efectos externos en el análisis (podrían añadirse más: la buena o mala temporada que está haciendo cada uno, la moral que se tiene en esa época, si se juegan algo importante en ese momento o no…), efectos que no tienen que ver con la probabilidad. Por ello no cabría hablar de estadística en este caso.

Este artículo participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Pimedios.es.

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