Las cónicas según Boscovich

Hoy se cumplen 300 años del nacimiento de Ruder Josip Boscovich (1711-1787), físico, astrónomo, matemático, filósofo, poeta y jesuita de la República de Ragusa (actual Croacia). Boscovich es conocido por su teoría atómica, que inspiró a Michael Faraday y (dicen algunos) hasta al propio Albert Einstein.

En lo que se refiere a su legado matemático, fue el primero en tratar las cónicas partiendo de su definición como el lugar geométrico de los puntos tales que sus distancias a un punto dado (el foco) y a una recta dada (la directriz) están en una razón dada (la excentricidad, que Boscovich llama razón determinante). Aunque el hecho era conocido en la antigüedad, no parece que tuviese ningún papel central en la teoría de las secciones cónicas.

Boscovich observa que los nombres griegos, elipse (deficiente), parábola (ajustada), hipérbola (excedida), aunque fueron dados por Apolonio partiendo de otra definición encajan bien en la suya, pues una cónica es una elipse, una parábola o una hipérbola según su excentricidad sea menor que, igual a, o mayor que 1.

Kepler en 1604 había introducido la palabra foco y en Boscovich aparece la palabra directriz referida a las tres secciones (elipse, parábola, hipérbola).

Boscovich, en los Sectionum Conicarum Elementa (tomo III de su Elementorum Universae Matheseos), da la siguiente construcción para obtener puntos de la sección, dados foco,directriz y excentricidad:

Trazamos una circunferencia, con centro arbitrario, y cuyo radio es la distancia del centro de la circunferencia a la directriz multiplicada por la excentricidad.

Tomamos un punto de la circunferencia y trazamos la recta que pasa por ese punto y el foco, que cortará a la directriz un un punto.

Entonces la recta que pasa por ese punto de la directriz y el centro de la circunferencia y la recta que pasa por el foco paralela al radio determinado por el punto en la circunferencia se cortan en un punto de la cónica.

Es fácil demostrar que la razón de las distancias de ese punto de intersección al foco y a la directriz es la misma que la razón entre el radio de la circunferencia y la distancia de su centro a la directriz.

La construcción también da un método para obtener los puntos de intersección de una recta dada con una cónica de la que solamente tenemos su foco, directriz y excentricidad.

Fuente:

• C.Taylor. An introduction to the ancient and modern geometry of conics.

Esta es una colaboración que nuestro querido y admirado colaborador fede me ha enviado a través del correo electrónico de Gaussianos: gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Y también es una de las aportaciones de este blog a la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, que organiza ClaraGrima.