Hoy martes os traigo el problema de esta semana, que en esta ocasión nos propone ren4 a través del correo electrónico. El enunciado es el siguiente:
Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo isósceles de papel ABC, siendo AB la hipotenusa y AC y CB los catetos. Tomamos el vértice C y lo doblamos de tal forma que quede en la mitad de AB. Ahora se habrá formado un triángulo recto isósceles más pequeño con C como uno de sus vértices. Volvemos a tomar este vértice C y lo volvemos a doblar de tal forma que quede en la mitad del triángulo pequeño. Volvemos a tener otro triángulo aún más pequeño. Demostrar que si repetimos el procedimiento continuamente el punto resultante será el baricentro.
Espero que lo hayáis entendido. Ánimo con él.
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Para mí que no es necesario que el triángulo sea rectángulo…
No sé si esto valdrá como demostración. El baricentro es el punto en el que se cruzan las tres medianas de un triángulo. Tenemos un triángulo isósceles de vértices A, B y C, donde los catetos AC y CB son iguales. Trazamos las medianas del triángulo. La evolución del vértice C va a ser siempre sobre la mediana que une el vértice C (del triángulo inicial) con la hipotenusa del triángulo, con lo cual, si las otras 2 medianas se mantuvieran constantes en los triángulos que se van formando con el proceso de doblado, el baricentro sería el punto al… Lee más »
Si la altura del triángulo inicial es h, la altura del doblez va siendo sucesivamente h(1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + 1/16 -……). La suma de esta sucesión geométrica de razón -1/2 es 1/3 que es la altura del baricentro. Como los vértices de los triángulos sucesivos están en la mediana el punto límite es el propio baricentro.
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Bueno para empezar todos los puntos de la sucesion estan sobre la mediana de C y como los triangulos contienen uno al siguiente viendo la interseccion con la mediana tenemos una sucesion de intervalos encajados [un vertice,su siguiente] que converge a un punto.Una vez q sabemos q converge tenemos P=aA+bB+cC con a=b por simetria.Si vemos el segundo triangulo tenemos q P=x((C+B)/2)+y((A+C)/2)+z((A+B)/2) con x=y por simetria, igualando el coefiente de A x+y=2a,como 2x+y=1 2a+x=1 y concluimos x=c=y,luego a=c y P=aA+aB+aC con 3a=1 luego a=1/3 y vemos q es el baricentro
Al final he equivocado la y con la z, pero creo q se puede llegar la misma conclusion observando q la combinacion baricentrica de P es la misma desde cualquier triangulito ya q da igual por cual empiezes a doblar