Daniel Peralta-Salas y Alberto Enciso nos hablan de la conjetura sobre la ecuación de Euler

Hace un par de semanas os hablaba de la noticia de la resolución por parte de dos matemáticos españoles de la conjetura sobre la ecuación de Euler, relacionada con la mecánica de fluidos. Al igual que en otros casos en los que matemáticos españoles eran protagonistas de hechos tan importante, me puse contacto con ellos para pedirles que nos explicaran un poco qué problema habían resuelto y que nos dieran algunas ideas sobre la propia demostración que habían desarrollado.

Al igual que en los casos anteriores, los protagonistas, Alberto Enciso y Daniel Peralta-Salas, ambos del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), se mostraron dispuesto a colaborar conmigo. Y, después de varios mails intercambiados y con una rapidez inusual (que agradezco enormemente), me enviaron su colaboración, que reproduzco textualmente en las próximas líneas.

Conjetura sobre la ecuación de Euler

Las ecuaciones que gobiernan la dinámica de los fluidos incompresibles no viscosos fueron propuestas por el gran matemático suizo Leonhard Euler en 1757. Matemáticamente, el fluido se describe mediante un campo vectorial dependiente del tiempo , definido en un dominio de , que representa el campo de velocidades del fluido. En este dominio, la ecuación que rige la evolución temporal de este campo es la célebre ecuación de Euler, que se deriva de las ecuaciones de Newton al aplicarlas a un medio continuo. Asumiendo que la densidad del fluido es constante y que el fluido no está sometido a fuerzas exteriores, esta ecuación se escribe como

La función representa la presión interna del fluido y no se prescribe de antemano, sino que es una incógnita más del problema, de forma que la ecuación de Euler es un sistema de cuatro ecuaciones en derivadas parciales con cuatro incógnitas.

El enfoque lagrangiano a la ecuación de Euler considera las trayectorias determinadas por el campo de velocidades,es decir, las soluciones a la ecuación

Físicamente, la trayectoria con condición inicial representa la evolución temporal de una partícula de fluido que se encuentra en la posición en el tiempo . Estas trayectorias se conocen como líneas de corriente. El rotacional del campo también desempeña un papel muy relevante en mecánica de fluidos y se denomina vorticidad.

Uno de los problemas fundamentales de la hidrodinámica topológica es entender la estructura geométrica de las líneas de corriente. Mediante «estructura geométrica» nos referimos a la caracterización topológica de las líneas, es decir, módulo las transformaciones de en suaves y con inversa suave (estas aplicaciones se llaman difeomorfismos). Por motivos físicos, el interés se centra en caracterizar las líneas de corriente en el caso estacionario, es decir, cuando el campo de velocidades no depende del tiempo. En particular, este tipo de cuestiones resultan de interés en algunos enfoques a la turbulencia.

En lo referente a este tipo de problemas, el resultado central es el teorema de estructura de Arnold, publicado en su artículo fundacional de 1966 y recogido en la monografía Topological methods in hydrodynamics, de Arnold y Khesin. Este teorema prueba que, bajo hipótesis adecuadas, cuando el campo de velocidades del fluido y su rotacional no son colineales la estructura de las líneas de corriente es muy rígida: esencialmente como la de los sistemas hamiltonianos integrables que se estudian en mecánica clásica. Sin embargo, el propio Arnold conjeturó que en el caso en que la vorticidad y el campo de velocidades son proporcionales, cualquier topología debería ser realizable como líneas de corriente. Una forma precisa de enunciar esta conjetura es que cualquier nudo o enlace debería ser realizable como línea de corriente (o de vorticidad) de una solución estacionaria a la ecuación de Euler. Esta conjetura se hizo muy popular en el campo especialmente porque se veía refrendada por argumentos heurísticos basados en fenómenos físicos: transporte y congelación de la vorticidad y el efecto de relajación magnética de Zakharov y Zeldovich. Recordemos que un nudo es simplemente una curva cerrada en , mientras que un enlace es una unión de nudos disjuntos.

Por el teorema de Arnold, cuando se buscan soluciones estacionarias a la ecuación de Euler con trayectorias complejas resulta natural considerar la clase de soluciones de Beltrami, para las que la vorticidad es proporcional al campo de velocidades a través de una constante no nula:

Usando este tipo de soluciones recientemente hemos demostrado que, como se conjeturaba, cualquier nudo o enlace puede realizarse como un conjunto de líneas de corriente de una solución suave de tipo Beltrami. Con más precisión, dado un enlace podemos deformarlo por medio de un difeomorfismo , arbitrariamente cercano a la identidad, de manera que el enlace deformado es un conjunto de líneas de corriente de una solución de Beltrami en . En particular, hay una solución de Beltrami cuyas líneas de corriente realizan a la vez todos los nudos posibles, lo cual muestra la complejidad que pueden exhibir este tipo de soluciones. Es fácil ver que las soluciones de Beltrami no tienen energía finita (es decir, no son funciones de cuadrado integrable), por lo que sería muy interesante física y matemáticamente considerar el problema para soluciones con un decaimiento adecuado en el infinito.

La dificultad de este tipo de problemas radica en la necesidad de extraer información topológica de una ecuación en derivadas parciales. Hasta la fecha, la experiencia parece mostrar que no es posible extraer esta información utilizando únicamente las técnicas de la topología diferencial. En el caso de la ecuación de Euler en dimensión , las técnicas de análisis tampoco han bastado para obtener este tipo de información, ya que esta ecuación presenta dificultades que de momento han resultado insalvables.

La filosofía de nuestra demostración es combinar los métodos flexibles de la topología diferencial y de los sistemas dinámicos (que nos sirven para controlar construcciones auxiliares) con los métodos rígidos de las ecuaciones en derivadas parciales (que permiten relacionar estas construcciones auxiliares con la ecuación). Sin entrar en detalles técnicos, la estrategia de demostración es la siguiente. Partimos de un enlace y nos fijamos en una componente conexa (es decir, un nudo) de este. Podemos tomar una banda alrededor del nudo , es decir, una cinta bidimensional (abierta) que contiene el nudo. En esta banda, construimos un campo de vectores tangente para el que el nudo es una trayectoria periódica robusta, en un sentido preciso, y satisface ciertas condiciones técnicas. Partiendo de este campo en la banda podemos construir una solución de Beltrami en un entorno del nudo utilizando una variante del teorema de Cauchy-Kowalewski. Por construcción, el nudo es una trayectoria periódica de la solución local , que además puede verse que es robusta. Este procedimiento puede repetirse con todas las componentes del enlace, obteniendo una solución de Beltrami local, definida en un entorno del enlace , que tiene a los distintos nudos como trayectorias periódicas robustas (esto es, estables bajo perturbaciones adecuadamente pequeñas). Para concluir, probamos que esta solución local puede aproximarse en un sentido adecuado por una solución de Beltrami global ; entonces de la robustez de las trayectorias periódicas de la solución local se sigue que la solución global también tiene líneas de corriente difeomorfas (aunque, en general, no iguales) al enlace . La prueba de la existencia de solución global que aproxima a la solución local no es constructiva, por lo que no tenemos control del comportamiento de la solución global en el infinito.

Hay tres dificultades principales que aparecen al intentar llevar a cabo esta estrategia. En primer lugar, la aplicación de Cauchy-Kowalewski a la ecuación de Beltrami da lugar a sutilezas porque el operador rotacional no posee superficies no características. En segundo lugar, el teorema de aproximación por soluciones globales ha de ser suficientemente fino para poder tratar enlaces complejos. En tercer lugar, y relacionado con el punto anterior, el campo vectorial tangente a la banda que usamos como dato de Cauchy para construir la solución local ha de escogerse muy cuidadosamente para garantizar que el nudo es una trayectoria «suficientemente robusta» de . Los detalles sobre la demostración pueden consultarse en nuestro artículo Knots and links in steady solutions of the Euler equation, que aparecerá publicado en Annals of Mathematics en noviembre de 2011 y puede descargarse en desde este enlace del arXiv.

Más allá del resultado, la técnica de demostración es bastante versátil y está resultando de utilidad en el estudio de otros problemas en Física Matemática que requieren una comprensión cualitativa de las soluciones a ecuaciones en derivadas parciales lineales.

Quiero terminar agradeciendo de nuevo a Alberto y a Daniel su inmediata predisposición a colaborar y el poco tiempo que pasó desde que les sugerí la colaboración hasta que ésta llegó a mis manos. También quiero comentar que están preparando un artículo más largo, que aparecerán en una próxima edición de La Gaceta de la RSME, donde darán muchos más detalles sobre su demostración.

Y finalizo dando a este post categoría de aportación a la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, que organiza ClaraGrima.