Esta semana comenzamos con el problema semanal, cuyo enunciado es el siguiente:
Se define por recurrencia la sucesión
,
y
, con
Demostrar que la sucesión
es convergente y determinar su límite, para cualesquiera
.
Que se os dé bien.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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El límite es a+(b-a)·e^(-1/2)
Tengo una demostración pero el tiempo que dispongo no me permite desarrollarla (perdonadme la excusa fermatiana)
[Intentaré desarrollar la solución esta tarde]
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Esta semana comenzamos con el problema semanal, cuyo enunciado es el siguiente: Se define por recurrencia la sucesión , y , con Demostrar que la sucesión es convergente y determinar su límite, para cualesquiera . Que se os……
La solución del problema tal como la he desarrollado (ahorro las demostraciones por inducción que son simples):
Paso 1.- Definimos la sucesión y(n) tal que y(0)=0, y(1)=1, y(n+1)=((2n-1)•y(n)+y(n-1))/(2n)
Paso 2.- Definimos la sucesión d(n) tal que d(n)=y(n+1)-y(n).
Paso 3:- Se prueba por inducción que d(n)=[(-1/2)^n]/n!
Tenemos que
y(n)=y(n)-y(n-1)+y(n-1)-y(n-1)+…+y(1)-y(0)=d(n-1)+d(n-2)+…+d(1)+d(0).
Nótese que d(0)+d(1)+d(2)+….. es el desarrollo en series de potencias de e^(-1/2) y, por tanto, lim y(n)=e^(-1/2)
Paso 4.- Se prueba por inducción que x(n)=a+(b-a)•y(n). Por tanto, lim x(n)=a+(b-a)•e^(-1/2)
He hecho un EXCEL y he comprobado muchas parejas distintas de «semillas» a y b.
Converge deprisa, con 10 términos ya tienes 8 decimales de precisión.
El límite me coincide siempre con el valor que dice Pcrdg:
a+(b-a)e^(-1/2)
«que d(n)=[(-1/2)^n]/n!»
Vale. Supongo que esto se le aparece a uno por una suerte de magia.
Me acuerdo demasiado a menudo en este blog de ese aforismo tan impresionante de «la formalización es a la matemática lo que el robo al trabajo honrado».
“que d(n)=[(-1/2)^n]/n!”
Vale. Supongo que esto se le aparece a uno por una suerte de magia”
No, no es por arte de magia. Si d(n)=y(n+1)-y(n) enseguida se comprueba que d(n)=-d(n-1)/(2n)
El resto es ajustar un poco para buscar qué sucesión se trata.
Y, por otra parte, no me gusta nada la frase que has empleado Más bien estoy completamente en desacuerdo….salvo que detrás de la formalización sólo haya ideas huecas; lo que, desde luego, no es mi caso 😛
La frase no es mía, es de un matemático muy famoso, no recuerdo quién; no es la primera vez que se me viene a las mientes en este blog y tú respuesta corrobora su pertinencia. Y sí, es fácil verlo ya casi todo porque la idea parte del uso de una técnica habitual de manipulación de términos llevada a cabo con habilidad. Así que ya lo entiendo a satisfacción. Gracias. No sé por qué razón, si no hay formalización, la pinta que parece dar un trabajo de matemáticas es el de un manual para niños. En filosofía de la ciencia… Lee más »
vayapordios, ¿qué?
Googleando veo estas dos definiciones: CONTEXTO DE JUSTIFICACIÓN En filosofía de la ciencia, se llama contexto de justificación a las distintas pruebas, datos o demostraciones que el científico aporta para la justificación y defensa de la verdad de sus hipótesis ante la comunidad científica. En este contexto se incluyen los elementos y factores más propiamente científicos y racionales de la investigación científica. CONTEXTO DEL DESCUBRIMIENTO Esta expresión se refiere a los factores que influyen en la creación de una teoría científica. En el contexto del descubrimiento hay que incluir elementos no estrictamente racionales o no estrictamente científicos (como los psicológicos,… Lee más »
«No sé por qué razón, si no hay formalización… es… un manual para niños»
Si tú lo dices…
PD: Buen tema para flamear… 😛
Yo no lo digo, sólo hay que pasarse por los comentarios de este blog para ver que tardan un montón (y aún sólo pidiéndolo mucho) explicaciones sobre el contexto de descubrimiento y luego acaba apareciendo mucho la palabra «trivial». Todo apunta a lo que comentaba
Y si no, la probabilidad de que esa afirmación mía acabe siendo un flame, confirma de manera curiosa su acierto.
Por cierto, lo contrario de «formalizar» no es «no demostrar». Y gracias por el detalle de ese maravilloso contexto del que disfrutas, puede que la próxima no se me escape.
Sin inducción: Reagrupando la recursión tenemos que
O sea
Y es fácil ver, por inspección, que la solución de esta recursión simplificada es
De acá recuperamos
, queda la sumatoria de la exponencial, como encontró pcrdeg.
Corrijo (tarde) el factor olvidado :
Correcto.