Quinto problema de la Olimpiada Matemática de Baleares 2013 celebrada el 11 de enero. El enunciado del mismo, segundo problema de la segunda sesión, es:
Sean
dos puntos cualesquiera del plano. Sean
la circunferencia de centro
que pasa por
y
la de centro
la circunferencia que tiene como diámetro al segmento
.
Supongamos ahora que
es el radio de la circunferencia que es tangente interiormente a
es el radio de la circunferencia tangente interiormente a
Demostrar que
.
A por él.
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Ver: http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/OMBaleares2013_5.html Consideremos la inversión en la circunferencia c_1. Esta inversión transforma la recta d perpendicular por O_1 al segmento O_1O_2 y a la circunferencia c_1 en si mismas, a la circunferencia c_2 en la recta c’_2, paralela a d por O, punto mkedio de O_1O2_2, y a la circunferencia c en la recta c’, paralela por O_2 a d. Las rectas d, c’_2 y c’ son paralelas y están igualmente distanciadas. Las inversas de las dos circunferencias rojas son las circunferencias tangentea a c_1, c’_2 y a d y c’ respectivamente, por lo que tienen el mismo radio, y… Lee más »
Me sale
. Luego detallo el proceso si tengo tiempo!
Llamemos O3 y O4 a los centros de las circunferencias de radios r y r’ respectivamente y 2R, 2R y R a los radios de las circunferencias O1, O2 y la de diámetro O1-O2 respectivamente. Unamos O3 y O4 con O1 y O2. Tenemos que en los triángulos O3-O1-O2 y O4-O1-O2 podemos expresar sus lados, bases y alturas en función de R, r y r’. El triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa O3-O4 y por catetos la horizontal por O4 y la vertical por O3 permite demostrar que la prolongación de O3-O4 pasa por el extremo del diámetro horizontal de… Lee más »
JJGJJG:
Creo que es R/3, ¿no?
Saludos
Con una construcción similar a la de JJGJJG (triángulos
), llamando 
al punto medio de 
, podemos descomponer el segundo en el triángulo rectángulo 
del que sabemos que sus lados miden 
puesto que 
se encuentra sobre la mediatriz de 
y aplicando Pitágoras, sale que 
.
Por otro lado, el triángulo
se puede descomponer en dos triángulos rectángulos (con el punto adicional que está sobre 
en la vertical de 
) que nos llevan a la misma conclusión por un procedimiento similar.
Es un método feo y burdo, pero funciona…
Ignacio Larrosa, no, parece que no coinciden, de hecho ni siquiera se celebraron el mismo día.
Por cierto, cuando termine los de Baleares publicaré los de Galicia, que también me envió _cronos2 desde Asturias :).
NO se puede ver graficamente ?? es decir deslizando una esfera hasta que las dos esferas pequeñas coincidan y por lo tanto tengan los mismos radios.. 🙂 digo una solucion grafica
movemos la esfera cuyo centro es O2 hasta ponerla paralela con O1
Creo que no serviría esa forma. Porque para hacer la representación visual deberíamos construir los objetos, y para que una esfera se ajuste a la otra deberíamos hacerla del mismo radio, pero estaríamos suponiendo que los radios son iguales, y esto es lo que hay que demostrar, no suponer como cierto.
Estoy intentando demostrar lo siguiente. Sean y . Sea . Entonces son puntos en la misma recta. Demostrando eso, puedo utilizarlo en el problema que tenemos, de manera tal que teniendo y y haciendo y se tendría que están en alineados y están también alineados. De esta manera trazando la cuerda y una paralela a dicha cuerda por $O_3$ entonces si se pudiera demostrar que $O_4$ está en la paralela a que pasa por $O_3$ tendríamos los triángulos isósceles semejantes y y aplicando la propiedad de los lados de triángulos semejantes (la proporcionalidad entre los lados correspondientes) se tendría que… Lee más »