Comenzamos hoy la publicación de los problemas de la Olimpiada Matemática de Galicia y de la de Asturias 2013, y, en general, supongo que de todas las Olimpiadas Matemáticas celebradas en España el pasado sábado 12 de enero. Quiero agradecer a Ignacio Larrosa y a Nacho Mas que me hayan enviado los problemas de dichas olimpiadas.
Comenzamos con el primero de ellos. Ahí va su enunciado:
Dado un número entero n escrito en el sistema de numeración decimal, formamos el número entero k restando del número formado por las tres últimas cifras de n el número formado por las cifras anteriores restantes. Demostrar que n es divisible por 7, 11 ó 13 si y solo si k también lo es.
Que se os dé bien.
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Supongamos que los 3 últimos dígitos forman el número b y el resto el número a, entonces podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
1000.a+b=n
y del enunciado
k=b-a
sustituyendo podemos llegar a
1001.a+k=n
Puesto que 1001 es múltiplo de 7, 11 y 13 entonces n es múltiplo de estos números sí y solo sí k lo es.
Podemos escribir n como a + 1000*b, siendo a y b números enteros que corresponden a los números formados por las cifras anteriores a la tercera y al formado por las tres últimas cifras de n, respectivamente. De esta forma, tenemos que k = a – b. Si reescribimos la primera ecuación como: n = a + 1000*b = a + (1001 – 1)*b = a – b + 1001*b = k + 1001*b y nos damos cuenta de que 1001=7*11*13, y por tanto 1001*b es siempre divisible por 7, 11 o 13 (ya que b es un número entero),… Lee más »
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Vamos a ver tampoco es tan complicado, lo que pide es un numero n , que restando las tres ultimas cifras y las anteriores de un numero k que sea divisible por 7 , 11 y 13 y entonces n también .
Entonces tengo n = 1860859. Restamos las tres ultimas cifras con las anteriores… 859-1860 = -1001
-1001 es divisible por 7, 11 y 13 y entonces n también jejeje.
Enviadme cualquier cosa o respuesta buena o mala a mi correo.
rafaespada_2@hotmail.com
Quisiera preguntar si los números de una y dos cifras están considerados aquí. Ya que sólo se menciona
positivo, sin especificar nada más.
¿Qué pasaría si tomáramos por ejemplo
?
Por otra parte las dos demostraciones que leí antes sólo se remiten a un
entre 1000 y 9999.
Perdón, no dice
positivo, si 
, con lo cual se puede incluir los negativos.
Ok!, las demostraciones dadas sirven para todo
.
Sea , expresado en base decimal como Sean y , de manera que . Si es divisible por , entonces tenemos que $latex \displaystyle{n \equiv 0 \bmod{7} \Leftrightarrow \sum_{i=0}^{m} a_i \cdot 10^i \equiv 0 \bmod{7} \Leftrightarrow \sum_{i=0}^{m} a_i \equiv 0 \bmod{7} \Leftrightarrow a_i \equiv 0 \bmod{7} , \forall i \in { 0 , \ldots , m }}$ Donde he utilizado que . Como para cada tenemos , entonces tenemos que si aplicamos el mismo razonamiento a y llegamos a la siguiente conclusión: Como , luego es divisible por . Si aplicamos el razonamiento en sentido inverso para llegamos a la… Lee más »
Se me han quitado todas las de delante de los comandos de LaTeX… Siento la publicación, pero no me deja editarlo para poner las pertinentes.
Editado por gaussianos: arreglado. Si ves algún error deja un comentario y te lo arreglo.
Pasaba por aquí; los teléfonos son escasos y no lo pude resistir. Mal problema para la preparación para una olimpiada internacional, por una sencilla razón. Los criterios de divisibilidad por 7, 11 y 13 son en efecto muy similares. Pero no da tiempo en el escaso límite del examen de re-descubrir estos criterios, salvo si uno fuera el joven Gauss o el no menos imberbe Euler, o gente parecida. En realidad el problema fomenta la memorización mecanicista; entre los que se preparan para el examen, de los criterios de divisibilidad, que al fin y al cabo no son más que… Lee más »
Para explicar el comentario anterior con mejores palabras, sorprende que el gran matemático Poincaré o el no menor Hilbert o un físico como Lorentz que ya había acuñado el concepto de la contracción de las longitudes sin que el propio Einstein lo supiera o los experimentalistas Michelson y Morley -¿se podía deducir algo real y definitivo de su experimento?; no lo sé- y tantos otros; no hubieran visto lo sencillos que eran los postulados definitivos de la relatividad especial de 1905. Y ahora cualquier **funcionario** de la física o de la matemática, que muchísimos hay, afirma y confirma la sencillez… Lee más »
En la ante última línea donde dice «no forzosamente consecutivos», debe de decir «consecutivos»