El problema de esta semana relaciona sumas de potencias enteras y números primos. Vamos con su enunciado:
Sea
. Probar que si
es un número primo distinto de 3, entonces
es múltiplo de
Ánimo y a por él.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Una posible vía es demostrar el teorema:
«p primo divide a
si p-1 no divide a j»
una pista: tenemos varias sumas geométricas encubiertas
Si asumimos el teorema del primer comentario, tenemos que si p-1 no divide a j, y por el T. de Fermat si p-1 divide a j . Entonces, si p es un primo mayor que 3 y j recorre , j es múltiplo de p-1 solo cuando j=p-1 y por tanto Y pongo la siguiente demostración de Poinsot(1845) del resultado del primer comentario: Si recorre los valores , y x es uno de esos valores, recorre también esos valores (en diferente orden) y por tanto recorre los mismos valores que . Entonces . Si x es una raíz primitiva para… Lee más »
sí señor, estupendo!! Me ha gustado la referencia a Poinsot. En unos días si nadie aporta otra prueba, pondré una algo más sencilla.
¿Podríamos ahora analizar la siguiente cuestión relacionada?
Pongo otra prueba del ejercicio:
Si
entonces vemos usando el pequeño teorema de Fermat (y sumando una progresión geométrica) que
Para los casos
la suma claramente es 1 módulo p. Por tanto la suma pedida es, módulo p,
que es múltiplo de p, si p es primo distinto de 3. Se ha usado en medio la propiedad esa fundamental del triángulo combinatorio.