Internet está plagado de acertijos del tipo continúa la sucesión, esto es, acertijos donde nos presentan una lista de números y nos retan a descubrir la regla que los generan para así poder continuar dicha lista. Por poner un ejemplo, tenemos ésta sencilla sucesión:
Es claro que una solución es que el siguiente término es . ¿Cómo que una? Querrás decir la solución, ¿no? Pues no, no es única. En este post os daba otra posibilidad.
Bueno, el caso es que hoy os voy a hablar de una sucesión de este tipo, que no por conocida deja de ser interesante. Intentad continuar con la sucesión (quienes no la conozcan, claro):
Veeeeenga, pieeeeensa, que es más fácil de lo que pareeeeece…
…
…
…
…
…
…
¿Nada? Bien, pues entonces os voy a contar yo cómo se forma esta sucesión y algunos entresijos de la misma.
La sucesión Look-and-say
Vamos a explicar cómo se forma la sucesión. Comenzamos con el 1 como primer elemento. El segundo elemento saldrá de leer el primer elemento y escribirlo en forma de número. Si leemos el primer elemento decimos «un uno». Por eso el segundo elemento es 11. El tercer elemento sale de leer el segundo, para lo que diríamos «dos unos», quedando entonces en tercer lugar el número 21. Y así sucesivamente. Por ello esta sucesión se denomina Look-and-say sequence y continúa de la siguiente forma:
Curiosa sucesión, eso es innegable.
Bien, vamos a comentar algunas de sus propiedades:
- La sucesión así creada es divergente, es decir, sus términos crecen indefinidamente, son cada vez más grandes, no tienen un límite.
- De hecho, si comenzamos la sucesión por otro número que no sea el 1, se tiene que la secuencia Look-and-say es divergente para todo número excepto para el 22, ya que en este caso se obtiene la secuencia degenerada siguiente:
- Los elementos de la secuencia no contienen como cifra a ningún número natural mayor que 3, a no ser que el elemento inicial lo contenga. Esto eso, no encontraremos ningún 5 en un elemento de la secuencia a no ser que el primer número de la misma contenga dicho 5.
¿Esconde alguna otra sorpresa numérica esta sucesión? Pues…sí.
Fibonacciando, calculemos los cocientes relacionados con esta sucesión, pero no de cada elemento entre su anterior, sino del número de cifras de cada elemento entre el número de cifras del anterior:
No parece que haya demasiada regularidad, pero en realidad la hay. De hecho estos cocientes tienden a al mismo número sea cual sea el primer elemento de la sucesión (excepto el 22). Ese número, conocido como constante de Conway, es el siguiente:
Su nombre proviene del gran matemático inglés John Horton Conway, que estudió dicho límite de los cocientes:
Bien, ¿se sabe algo de este número? Pues sí. Se sabe que es irracional…y, sorprendentemente, algebraico, hecho que demostro el propio Conway. ¿Qué significa esto último? Pues, como sabemos, esto quiere decir que existe un polinomio con coeficientes enteros tal que esta constante de Conway es una de sus soluciones.
¿Y cuál es ese polinomio? ¿Cómo es? ¿Qué grado tiene? Comparando con el número de oro, , proveniente de la sucesión de Fibonacci, que es solución de la ecuación polinómica de segundo grado
, uno podría pensar que el grado no puede ser muy grande en este caso…Nada más lejos de la realidad:
es la única solución positiva de la siguiente monstruosa ecuación polinómica de grado 71:
Esta ecuación tiene 68 soluciones complejas no reales (34 parejas compleja-conjugada) y tres soluciones reales, de las que dos son negativas, y
, y la otra es
. Podemos verlas todas representadas en la siguiente gráfica:
En este generador de la secuencia Look-and-say se pueden ver, entre otras cosas, los términos que van apareciendo en cada posición y las sucesivas aproximaciones al valor de la constante de Conway.
Y para finalizar comentar otra curiosidad. Conway también demostró que de un cierto término en adelante casi todos los elementos de la sucesión pueden descomponerse en 92 subtérminos, a los que llamó elementos (como los elementos químicos). En los enlaces de las fuentes encontraréis más información sobre este dato.
Fuentes:
- Look-and-say sequence en la Wikipedia inglesa.
- A derivation of Conway’s degree-71 «Look-and-say» polynomial en el blog de Nathaniel Johnston, donde, entre otras cosas, hace un estudio de los 92 elementos en los que puede descomponerse cualquier término.
- Las dos imágenes que aparecen en este artículo han sido tomadas de la Wikipedia.
Este artículo ha sido promovido para aparecer en la portada de Menéame. Si os ha gustado y queréis votarlo haced click en el siguiente enlace y pinchad en Menéalo:
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Caramba.
vayapordios, ¿caramba? 😀
Sí, es sorprendente. Hay en uno de los enlaces un comentario sobre reglas contextuales que dejan de serlo a cierto nivel, en el que la «gramática emergente» es sólo más complicada, que es de lo más sugerente.
Hola que tal, ya mi compañero habia posteado esto, realmente necesitamos ayuda, alguien sabe como probar que (Q,+) no es suma directa de sumandos no triviales de él, muchas gracias! 🙂
[…] Look-and-say y la constante de Conway gaussianos.com/look-and-say-y-la-constante-de-conway/ por calvo hace 2 segundos […]
[…] » noticia original […]
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Internet está plagado de acertijos del tipo continúa la sucesión, esto es, acertijos donde nos presentan una lista de números y nos retan a descubrir la regla que los generan para así poder continuar dicha lista. Por pon……
@Carlos: Supon que tienes una descomposicion
, y sean
elementos no nulos. Puesto que
es libre de torsion (por tener caracteristica 0) se tiene que
si y solo si
; lo mismo para
. Ahora, si escribimos
, entonces se tiene
, de donde
, pero como
tambien se tiene $npa \in A$, y hemos encontrado un elemento en
, contradiciendo que se hallen en suma directa.
Que curioso el articulo! Conocía dicha sucesión pero no sus propiedades….Muy bueno!
gracias vengoroso!!!!!
[…] el pasado miércoles sobre la curiosa sucesión Look-and-say y la constante de Conway, número que surgía como límite de los cocientes entre las cantidades de cifras de cada elemento […]
[…] Look-and-say y la constante de Conway ¿Es más trascendente la cantidad de números algebraicos? Calcular la derivada de una integral Una interesante introducción a la Geometría Computacional […]
Me quedo muerto. Yo de pequeño recuerdo haber leído algo sobre esta sucesión de números y jugaba a ver cuantos podía generar en un folio. ¡Y ahora me encuentro esto!
Aquí la sucesión programada en Haskell, y también para el cálculo de la cte. de Conway: import Data.List (break) import Data.Char (intToDigit) cteConway :: Int -> Double cteConway n = aux n sucMiraYDi where aux 0 (x:y:xs) = (fromIntegral (l y))/(fromIntegral (l x)) aux n (x:xs) = aux (n-1) xs l = length.show sucMiraYDi :: [Integer] sucMiraYDi = map read (iterate aux «1») where aux :: String -> String aux «1» = aux2 («1», «») aux (x:xs) = aux2 (break (/=x) (x:xs)) aux2 :: (String, String) -> String aux2 (x:xs, «») = intToDigit (length (x:xs)) : [x] aux2 (x:xs, ys)… Lee más »