Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:
Sea
un polinomio de grado
con coeficientes reales y
un número real. Demostrar que al menos uno de los números
,
con
, es mayor o igual que 1.
Suerte.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
Tienes un 20% de descuento y envío gratis en toda la web de La Tostadora con al menos dos artículos. Usa el código GAUSSIANOS entrando con el enlace de la imagen.
Y usando el código REBAJAS tienes un 30% de descuento hasta el 8 de agosto con al menos 3 artículos.
Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail haz click en la imagen.
Si tienes alguna duda, pregunta o sugerencia visita ForoGauss, nuestro foro (click en la imagen). Seguro que alguien te podrá ayudar
Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.
Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.
Visita XRooMers, nuestro nuevo blog sobre escape rooms.
En él encontrarás reseñas e información sobre los juegos de escape que hemos realizado y podrás dar tu opinión sobre ellos y tus propias sugerencias.
Y no te pierdas nuestra clasificación: The XRanking.
Veamos al menos un número y quedará cumplida la propuesta:
Sea p(x)=x y sea k=1. Tenemos que a^k será mayor o igual a 3, luego se cumple que el valor absoluto de la diferencia de a^k y p(k) es mayor que 1.
Manuel, el polinomio puede ser cualquiera.
Yo por el contrario, demostraré con un ejemplo que es falsa la proposición.
Sea el polinomio
y sea 
, cumpliendo con el enunciado, tenemos que, para 
por otro lado, para
en ninguno de los dos casos, el valor es mayor que 1.
¿Debería ser entonces «mayor o igual que 1»?
Manuel es con polinomios en general de grado n no cualquiera
Cierto, josejuan. Debe decir «mayor o igual que 1».
Arreglado :).
Si el termino independiente
del polinomio cumple que 
la propiedad se cumple de manera trivial para 
.
Para el caso en que
, creo que se puede intentar demostrar la propiedad mediante inducción sobre el grado del polinomio. Pero, yo no he podido aún realizar tal demostración.
Disculpen, alguien me podría ayudar con el siguiente problema: Demostrar que (Q,+) no es suma directa de sumandos no triviales de él, GRACIAS! 🙂
Yo trato de intuirlo así. Tenemos que mostrar que: Dada la función , con es imposible encontrar un polinomio de grado que aproxime a en los puntos con un error menor que 1 (en todos los puntos). (De paso: Enseguida vemos que si el rango de puntos fuera sí sería posible encontrar el polinomio: de hecho, sería posible encontrar uno con error 0 en todos los puntos, ya que siempre podemos encontrar un polinomio de grado que pase por puntos.) Supongamos (por el absurdo) que existe tal polinomio, que cumple el ajuste pedido. Entonces, en los puntos toma valores donde… Lee más »
Uf, eso de editar una respuesta ya enviada siempre termina rompiendo todo, creo que convendría sacar eso.
Cierto hernan, sigue fallando este plugin. Voy a buscar otro que funcione bien. Te edito yo tu comentario para arreglarlo.
Yo creo que lo he sacado por inducción y con la desigualdad triangular, aunque quizá me he dejado casos. Con la hipótesis de inducción (al valor absoluto de la diferencia mayor o igual que uno), que será cierta para un valor k del polinomio de grado n, se le suma y le resta el término que falta para tener el polinomio de grado n+1 en k, y luego se despeja el termino de más con la desigualdad triangular.
hernan, si he entendido tu propuesta, creo que no es válida, puesto que para minimizar el error en todos los puntos, debes usar (para crear el polinomio que mejor aproxime) todos los puntos (incluido n+1). Yo intento usar mínimos cuadrados, directamente o en forma matricial, pero: 1. no estoy del todo seguro que minimizar el error cuadrático medio asegure la proposición. Aunque pienso que sí, puesto que el polinomio resultante es el que mejor se aproxima (en error cuadrático medio) a los puntos dados y como buscamos: pues debería valer (es algo parecido al principio del palomar). 2. no soy… Lee más »
Off-topic: cuando editáis y hay fórmulas, las barras invertidas (Alt+92 o la tecla que hay sobre el tabulador) desaparecen, para que no ocurra, escribirla dos veces al editar un comentario.
Por ejemplo, el símbolo sumatorio es \sum, pues al editar el comentario hay que dejar \\sum para que mantenga el símbolo.
josejuan, buena solución mientras no encuentro un plugin mejor que realice esta función. Gracias 🙂
@josejuan: No estoy seguro de que estemos pensando lo mismo. Yo no estoy proponiendo un polinomio que minimice nada (y mucho menos error cuadrático, que no creo que pinte nada aquí). Lo que estoy diciendo es que, supuesto un polinomio de grado n que toma ciertos valores dados en los n+1 puntos anteriores, su valor en el punto n+1 queda determinado; y que esta determinación, unida a la condición de que los valores anteriores caen «cerca» de la exponencial, implica que en el punto n+1 el polinomio no puede alcanzarla (será estrictamente menor que . No tuve tiempo de desarrollarlo… Lee más »
«…Yo no estoy proponiendo un polinomio que minimice nada…» Tienes razón, leí deprisa. Ciertamente, bajo la hipótesis de que los primeros n+1 puntos (k=0..n) están ajustados, se puede estudiar el ajuste del n+2 (k=n+1). «…y mucho menos error cuadrático, que no creo que pinte nada aquí…» la restricción de valor absoluto (error absoluto) del problema es equivalente a un error cuadrático en cuanto que ambos separan de igual forma los puntos válidos por lo que puede pasar el polinomio (el +/- 1 en cada punto de la exponencial). Si puedes demostrar que el error (cuadrático o absoluto) acumulado (el sumatorio… Lee más »
Por el camino que tomé pude demostrarlo, pero es un poco engorroso – quizás pueda simplificarse usando inducción. Bosquejo (continuando mi planteo de 1:10) el p(N+1) (el valor del polinomio en x=N+1) se expresa como ( son los operadores de diferencia backward, con intervalo 1). A su vez descompongo eso en la suma de cada aporte: la exponencial y los «errores» con en . Se demuestra que el aporte de la exponencial queda por debajo de la exponencial en por una diferencia . Hay que ver si el aporte de las diferencia de puede alcanzar a cubrir este valor. Pero… Lee más »
Acá les paso un spreadsheet a modo de ejemplo, con N=3.
y 
y ver que el valor extrapolado por el polinomio (verde) no alcanza a la exponencial (amarillo), y el defecto es siempre mayor que 1.
Pueden editar libremente (ahí mismo) las celdas en naranja(con las restricciones de
http://goo.gl/0lZK5
Excelente, hernan, esa es la idea. Escribo la solución de otro modo:
Considerando diferencias progresivas tenemos que
. Tomando entonces la función 
tendremos, por inducción, que si 
es el grado del polinomio 
entonces
Evaluando en
, dado que 
: 
.
Suponiendo por reducción al absurdo que
, para 
, tendríamos entonces que
lo cual contradice la desigualdad obtenida si
.
gente, perdonen que lo ponga acá, y que el comentario quede medio descolgado, pero la verdad es que estos post y el intercambio que se produce en los comentarios es espectacular, increíblemente educativo para los aficionados autodidactas como yo que nos interesa esto por cuestiones ludicas
realmente no me da la cara para colgar una respuesta a ningún problema, pero no tienen idea como me entretienen estos problemas y la de defectos que me sacan con sus comentarios.
gracias totales!