Los problemas de Landau, después de 100 años “nada nuevo bajo el sol”

Este año 2012 ha reunido una interesante cantidad de efemérides señaladas relacionadas con las matemáticas: se han cumplido 100 años del nacimiento de Alan Turing, también es el centenario de la muerte de Jules Henri Poincaré, es el 150 aniversario del nacimiento de David Hilbert…pero también es un año relativamente señalado para los números primos, ya que en este año 2012 se cumplen 100 años del listado de cuatro problemas relacionados con los números primos, problemas que actualmente se conocen como problemas de Landau.

Edmund Landau

Edmund Landau

Pero comencemos por el principio. Edmund Landau fue un matemático aleman de finales del siglo XIX y principios del XX que trabajó principalmente en teoría de números y análisis complejo. Es conocido, entre otras cosas, por su demostración (más simple que las que había anteriormente) del teorema de los números primos, que dice que si \pi (x) representa la cantidad de números primos que son menores o iguales que x, entonces:

\pi (x) \sim \cfrac{x}{\ln{(x)}}

En su página de la Wikipedia en español podéis ver más datos sobre él.

Vamos a la cuestión que nos ocupa hoy. En el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Cambridge en 1912 (esto es, hace 100 años) Edmund Landau dio una lista de cuatro problemas relacionados con números primos que según él eran “inabordables en el presente estado de la ciencia”. Estos problemas, que acabaron por denominarse los problemas de Landau, son los siguientes:

  1. La conjetura de Goldbach.
  2. La conjetura de los primos gemelos.
  3. La conjetura de Legendre.
  4. ¿Existen infinitos números primos de la forma n^2+1?

Como podéis ver son todos problemas de muy sencilla formulación pero de muy complicada resolución. De hecho en la época en la que se listaron estos problemas de Landau el conocimiento de todos ellos era más bien escaso. Vamos ahora a comentar algunas cosas sobre cada uno.

La conjetura de Goldbach

Todo número par mayor que 2 puedes escribirse como suma de dos números primos.

De este problema tenemos poco más que añadir a lo que Rafael Tesoro nos comentó en un gran artículo Algunos resultados camino de la conjetura de Goldbach. El problema sigue abierto.

La conjetura de los primos gemelos

Existen infinitas parejas de la forma (p, p+2) en las que ambos números son primos.

Poco que comentar también sobre esta conocidísima conjetura. En los últimos años se han demostrado algunos resultados relacionados con ella, pero poco más. Quizás el más interesante es de Chen Jingrun, que dice que hay infinitos primos p tales que p+2 es un número primo o un semiprimo (producto de dos números primos). La mayor pareja de primos gemelos conocida hasta la fecha es la siguiente:

3756801695685 \cdot 2^{666669} \pm 1

que tienen 200700 cifras cada uno. Tenéis una lista con las 20 primeras parejas por cantidad de cifras y algo más de información en este enlace. De todas formas, el problema sigue abierto.

La conjetura de Legendre

Para todo n número natural existe al menos un número primo entre n^2 y (n+1)^2.

Este problema es el único de la lista sobre el que existían resultados no triviales relacionados con él, siendo posiblemente el postulado de Bertrand el más significativo. El resultado más importante relacionado con la conjetura de Legendre es el demostrado también por Chen Jingrun en 1975, que dice que entre n^2 y (n+1)^2 hay siempre un primo o un semiprimo. El problema sigue abierto.

¿Existen infinitos números primos de la forma n^2+1?

Tampoco hay demasiado que decir sobre ella. Al final del documento que enlazo más abajo podéis encontrar algo de información sobre cómo está la situación de esta conjetura en la realidad. El problema sigue abierto.


Como podéis ver han pasado 100 años desde que Landau destacó estos problemas sobre números primos y, como dice el título de esta entrada, nada nuevo bajo el sol. Quién sabe cuándo tendremos noticias sobre la resolución de alguno de ellos, pero no parece que eso vaya a ocurrir pronto.


En el trabajo Landau’s problems on primes (pdf, 353 KB), de János Pintz (del Alfréd Rényi Institute of Mathematics húngaro) podéis encontrar mucha información sobre todos estos problemas.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. Muy interesante!!

    Supongo que hay una errata en cuanto al resultado de Chen Jingrun sobre la conjetura de Legendre. Donde dice n^2 + 1 debería decir (n + 1)^2

    Publica una respuesta
  2. ¿Cuál es la conjetura de Legendre? De hecho, excepto el último, no pusiste explícitamente ninguno de los problemas.

    Publica una respuesta
  3. También es el 125 aniversario de Ramanujan, nacido el 22 de diciembre de 1887 en Erode, un pequeño pueblo de la India.

    Publica una respuesta
  4. Cierto Ricardo, tanta conjetura y ni siquiera las explico. Ya está editado el post con el enunciado de cada una. Muchas gracias por el aviso :).

    Publica una respuesta
  5. Hola, tengo a presentar mi resultado aunque muy trivial para la conjetura de Golbach:
    Dado el número par P= 2k , k puede escribirse como n+m y el número en cuestión expresarse como P=2m +2n luego P=(2m-1) +(2m+1)
    a lo que dichos sumandos son impares y todo primo distinto de 2 es impar entonces
    P= primo+ primo
    Claro faltaría para cuando el primo es igual a 2
    🙂

    Publica una respuesta
  6. Hola Luis Felipe, como va todo?

    Hay algo que no me acomoda del todo en lo que hizo. Estoy de acuerdo en que todo primo distinto a dos es impar, pero lo que no estoy seguro es el por qué ese 2m-1 y 2n+1 deben ser primos, son impares… pero por qué primos?.

    Acerca de la entrada, vaya que me ha gustado, no solo por mi amor a la teoría de números sino porque me recordó cosas de mi tesis de grado… aquellos tiempos. 😀

    Un cordial saludo a todos y en especial a ^DiAmOnD^

    Publica una respuesta
  7. Hola ZetaSelberg
    en realidad no puedo llamarlo una demostración de verdad, lo que he demostrado es que todo par es igual a la suma de dos impares, y bueno todos los primos (menos el 2) están incluidos en el conjunto de los impares, pero entiendo tu punto 🙂
    esos impares no son necesariamente primos 🙂
    pd. Soy estudiante de primer ciclo de matemáticas :p

    Publica una respuesta
  8. Jejeje no hay problema Luis Felipe.

    Usted no se imagina la cantidad de demostraciones erróneas que yo he creado: La hipótesis de Riemann, la conjetura de Goldbach, tengo como 45 demostraciones erróneas de la conjetura de los primos gemelos, poseo una de demostraciones erróneas mas corte de la conjetura de Mertens, como 5 demostraciones parciales (Erróneas) del último teorema de Fermat… la lista sigue. Pero bueno, la idea es para decirle que, ya que está empezando, habrán errores que cometeremos, pero siempre aprenderemos mucho de ellos. 🙂

    Un abrazo, y espero que disfrute mucho este mundo de las matemáticas… que es bien bonito 😀

    Publica una respuesta
  9. ZetaSelberg, muchas gracias y lo tendré muy en cuenta. 🙂

    Publica una respuesta
  10. La conjetura de Legendre afirma que:
    Para todo n número natural existe al menos un número primo entre n^2 y (n+1)^2.

    Mirándolo desde la forma del postulado de Bertrand (del que ya nos hablaron en Gaussianos https://gaussianos.com/joseph-bertrand-un-postulado-para-la-eternidad/ y https://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/) que afirma que en el intervalo [n,2n] siempre hay un primo, e inclusive la generalización del mismo que afirma que en el intervalo [mn,(m+1)n] siempre hay un primo, se ve que la conjetura de Legendre es equivalente a
    “En el intervalo [n^2,(n+1)^2] siempre hay un primo”.

    Sin embargo, mirando algunos casos particulares pregunto que pasa en los intervalos [n^3,(n+1)^3], [n^4,(n+1)^4], y en general:

    Para todo n,m>1 números naturales existe al menos un número primo entre n^m y (n+1)^m.

    Más aún, según cierto trabajo que estoy realizando (y que en un futuro quisiera publicar), sospecho que en el intervalo [n^m,(n+1)^m] siempre hay por lo menos 2 primos.

    Quisiera saber que opinan de esto, si tienen algún contraejemplo a esto que propongo, o si saben de alguna persona que trabaje actualmente en esto.

    Un saludo a ^DiAmOnD^ desde Colombia por esta excelente página.

    Publica una respuesta
  11. Javier37, si N>2, entre N³ y (N+1)³ hay siempre al menos dos cuadrados, por tanto si se cumple para los cuadrados se cumple para los cubos.

    Publica una respuesta
  12. Supongamos que en el intervalo [k^2,(k+1)^2] hay al menos un primo. Voy a demostrar que en [n^m,(n+1)^m], con n>1, m>2 hay al menos dos primos.

    Dado n^m, tomo un número p que cumple p^23, luego en esos casos está demostrado. Falta analizar qué ocurre con m=3. En ese caso la función es positiva si n>3,28, por lo que solo hay que comprobar los casos m=3, n=2 y m=3, n=3. En el primero hay que contar los primos entre 2^3 y 3^3, que son 5, y entre 3^3 y 4^3, que son 9.

    Por último se comprueba qué ocurre entre 1^m y 2^m. Como para m=3 hay cuatro primos, en el caso de potencias superiores esa cifra nunca será menor.

    Por lo tanto si se cumple la conjetura de Legendre habrá al menos dos primos entre dos potencias mayores que 2 consecutivas.

    Publica una respuesta
  13. Supongamos que en el intervalo [k^2,(k+1)^2] hay al menos un primo. Voy a demostrar que en [n^m,(n+1)^m], con n>1, m>2 hay al menos dos primos.

    Dado n^m, tomo un número p que cumpla que p^2 sea menor que n^m y (p+1)^2≥n^m. Como en el intervalo [(p+1)^2,(p+2)^2] hay un cuadrado y en [(p+2)^2,(p+3)^2] hay otro, voy a calcular en qué casos se cumple que (p+3)^2≤(n+1)^m, y en esos casos se demuestra la hipótesis.

    El caso más desfavorable se da cuando p^2=n^m-1, pues el intervalo entre n^m y (p+3)^2 es máximo. Sustituyo p en (p+3)^2≤(n+1)^m: p=√(n^m-1), (√(n^m-1)+3)^2≤(n+1)^m, n^m-1+6√(n^m-1)+9≤(n+1)^m, f(m,n)=(n+1)^m-n^m-6√(n^m-1)-8≥0. Analizamos el crecimiento de esta función. Existe siempre un mínimo M en el intervalo [1,2] y es creciente en el intervalo [M, +∞].

    M es positivo para m>3, luego en esos casos está demostrado. Falta analizar qué ocurre con m=3. En ese caso la función es positiva si n>3,28, por lo que solo hay que comprobar los casos m=3, n=2 y m=3, n=3. En el primero hay que contar los primos entre 2^3 y 3^3, que son 5, y entre 3^3 y 4^3, que son 9.

    Por último se comprueba qué ocurre entre 1^m y 2^m. Como para m=3 hay cuatro primos, en el caso de potencias superiores esa cifra nunca será menor.

    Por lo tanto si se cumple la conjetura de Legendre habrá al menos dos primos entre dos potencias mayores que 2 consecutivas.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Este año 2012 ha reunido una interesante cantidad de efemérides señaladas relacionadas con las…
  2. Los problemas de Landau, después de 100 años "nada nuevo bajo el sol" - [...] interiores de Massimo Listri 4 alma 20…
  3. Matemáticos en la Luna - Gaussianos - [...] Sofia Kovalevskaya, Joseph Louis Lagrange, Johann Heinrich Lambert, Gabriel Lamé, Henri Lebesgue, Adrien Marie Legendre, Gottfried Wilhelm von Leibniz,…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *