Este año 2012 ha reunido una interesante cantidad de efemérides señaladas relacionadas con las matemáticas: se han cumplido 100 años del nacimiento de Alan Turing, también es el centenario de la muerte de Jules Henri Poincaré, es el 150 aniversario del nacimiento de David Hilbert…pero también es un año relativamente señalado para los números primos, ya que en este año 2012 se cumplen 100 años del listado de cuatro problemas relacionados con los números primos, problemas que actualmente se conocen como problemas de Landau.

Edmund Landau

Edmund Landau

Pero comencemos por el principio. Edmund Landau fue un matemático aleman de finales del siglo XIX y principios del XX que trabajó principalmente en teoría de números y análisis complejo. Es conocido, entre otras cosas, por su demostración (más simple que las que había anteriormente) del teorema de los números primos, que dice que si \pi (x) representa la cantidad de números primos que son menores o iguales que x, entonces:

\pi (x) \sim \cfrac{x}{\ln{(x)}}

En su página de la Wikipedia en español podéis ver más datos sobre él.

Vamos a la cuestión que nos ocupa hoy. En el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Cambridge en 1912 (esto es, hace 100 años) Edmund Landau dio una lista de cuatro problemas relacionados con números primos que según él eran «inabordables en el presente estado de la ciencia». Estos problemas, que acabaron por denominarse los problemas de Landau, son los siguientes:

  1. La conjetura de Goldbach.
  2. La conjetura de los primos gemelos.
  3. La conjetura de Legendre.
  4. ¿Existen infinitos números primos de la forma n^2+1?

Como podéis ver son todos problemas de muy sencilla formulación pero de muy complicada resolución. De hecho en la época en la que se listaron estos problemas de Landau el conocimiento de todos ellos era más bien escaso. Vamos ahora a comentar algunas cosas sobre cada uno.

La conjetura de Goldbach

Todo número par mayor que 2 puedes escribirse como suma de dos números primos.

De este problema tenemos poco más que añadir a lo que Rafael Tesoro nos comentó en un gran artículo Algunos resultados camino de la conjetura de Goldbach. El problema sigue abierto.

La conjetura de los primos gemelos

Existen infinitas parejas de la forma (p, p+2) en las que ambos números son primos.

Poco que comentar también sobre esta conocidísima conjetura. En los últimos años se han demostrado algunos resultados relacionados con ella, pero poco más. Quizás el más interesante es de Chen Jingrun, que dice que hay infinitos primos p tales que p+2 es un número primo o un semiprimo (producto de dos números primos). La mayor pareja de primos gemelos conocida hasta la fecha es la siguiente:

3756801695685 \cdot 2^{666669} \pm 1

que tienen 200700 cifras cada uno. Tenéis una lista con las 20 primeras parejas por cantidad de cifras y algo más de información en este enlace. De todas formas, el problema sigue abierto.

La conjetura de Legendre

Para todo n número natural existe al menos un número primo entre n^2 y (n+1)^2.

Este problema es el único de la lista sobre el que existían resultados no triviales relacionados con él, siendo posiblemente el postulado de Bertrand el más significativo. El resultado más importante relacionado con la conjetura de Legendre es el demostrado también por Chen Jingrun en 1975, que dice que entre n^2 y (n+1)^2 hay siempre un primo o un semiprimo. El problema sigue abierto.

¿Existen infinitos números primos de la forma n^2+1?

Tampoco hay demasiado que decir sobre ella. Al final del documento que enlazo más abajo podéis encontrar algo de información sobre cómo está la situación de esta conjetura en la realidad. El problema sigue abierto.


Como podéis ver han pasado 100 años desde que Landau destacó estos problemas sobre números primos y, como dice el título de esta entrada, nada nuevo bajo el sol. Quién sabe cuándo tendremos noticias sobre la resolución de alguno de ellos, pero no parece que eso vaya a ocurrir pronto.


En el trabajo Landau’s problems on primes (pdf, 353 KB), de János Pintz (del Alfréd Rényi Institute of Mathematics húngaro) podéis encontrar mucha información sobre todos estos problemas.

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