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Este fin de semana Eduardo Sáenz de Cabezón nos ha representado en Famelab con su gran monólogo Un teorema es para siempre (podéis verlo en inglés aquí). En dicho monólogo nos hablaba sobre la historia del problema del rellenado mínimo del plano y del espacio. En este post vamos a repasar la historia de estos problemas.

Lo primero que toca es explicar qué queremos decir cuando hablamos de rellenado «eficiente» o «mínimo». Una forma de rellenar el plano será «mínima» (o «la más eficiente») cuando a igualdad de área con cualquier otro «rellenado» el perímetro total sea menor, y para el caso del espacio será cuando a igualdad de volumen el área total sea mínima.

En lo que se refiere al plano, en la actualidad se sabe que el rellenado mínimo se consigue con hexágonos regulares. Parece que esta cuestión proviene del siglo I a. C., en el que Marco Terencio Varrón habla sobre los hexágonos de los panales de las abejas en un libro suyo de agricultura. Pero en realidad el problema ha pasado a la historia relacionado con Pappus de Alejandría, que lo cita en su Libro V (unos 400 años después), como la conjetura del panal (de todo esto ya habíamos comentado algo por aquí)…

(Imagen tomada de aquí)

…y eso fue, una conjetura, durante muchísimos años, hasta el siglo XX. En 1943, L. Fejes Tóth prueba la conjetura del panal, pero considerando como hipótesis inicial que las celdas son polígonos convexos. Y la cosa se mantuvo así unos 50 años más. En 1999, Thomas Hales publica una demostración general de la conjetura del panal en su trabajo The honeycomb conjecture, en el que prueba que, efectivamente, el hexágono regular es la figura más eficiente.

Para terminar esta parte, quizás sea interesante dar los datos de los perímetros de varias figuras simples para compararlos con el hexágono regular. Lo vamos a hacer con los otros dos polígonos regulares con los que se puede rellenar el plano, el triángulo equilátero y el cuadrado, y vamos a ver cuánto mide el perímetro de cada uno para el caso en el que las áreas de los tres sean iguales a 1:

\begin{array}{| c | c | c |} \hline Poligono & Area & Perimetro \\ \hline Triangulo \;  equilatero & 1 & \begin{matrix} \\ \cfrac{6}{\sqrt[4]{3}} \approx 4.55 \\ \\ \end{matrix} \\ \hline Cuadrado & 1 & \begin{matrix} \\ 4 \\ \\ \end{matrix} \\ \hline Hexagono \; regular & 1 & \begin{matrix} \\ 6 \cdot \sqrt{\cfrac{2}{3 \cdot \sqrt{3}}} \approx 3.72 \\ \\ \end{matrix} \\ \hline \end{array}

Como en todas las situaciones tipo la descrita, preguntarse cómo sería el paso a las tres dimensiones es prácticamente obligado. En 3D, la pregunta sería la siguiente: ¿cuál es la figura tridimensional que a igualdad de volumen tiene menor área? Ésa sería la figura «más eficiente» o «mínima».

Lord Kelvin conjeturó a finales del siglo XIX que sería un octaedro truncado,

(Imagen tomada de aquí)

pero no consiguió demostrar que en realidad esa figura es la mejor para rellenar el espacio. A partir de aquí, este tema pasó a denominarse problema de Kelvin o conjetura de Kelvin. En este enlace podéis ver una animación de cómo se puede rellenar el espacio tridimensional con octaedros truncados (vía este comentario de Albert).

Estando entonces en el estado de «conjetura», si alguien la resolvía sería porque se dieran alguna de estas dos situaciones:

  1. Que se demostrara que la conjetura era cierta (como pasó con la del panal).
  2. Que se encontrara un contraejemplo a dicha conjetura.

Y fue esta segunda la que se presento, En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan encontraron un contraejemplo a la conjetura de Kelvin sobre rellenado del espacio tridimensional. Weaire y Phelan encontraron una figura que, a igualdad de volumen, tenía menor área que el octaedro truncado, y la denominaron (después de un gran alarde de imaginación) estructura de Weaire-Phelan, que está formada por dos dodecaedros irregulares con caras pentagonales y seis tetradecaedros con dos caras hexagonales y doce caras pentagonales pegados como puede verse en la siguiente figura:

(Imagen tomada de aquí)

Seguro que muchos veis que esta figura es rarísima, ¿verdad? Pues es interesante resaltar que se utilizó como base para construir la pared exterior del Beijing National Aquatics Centre, edificio en el que se celebraron las pruebas de natación de las Olimpiadas de Pekín 2008:

Por cierto, creo que es necesario comentar que el área de la estructura de Weaire-Phelan es un 0.3% menor que la de la estructura de Kelvin.

Y, bueno, ahí sigue la cosa. No se sabe si la estructura de Weaire-Phelan es «la más eficiente», o si por el contrario hay otra figura tridimensional que a igualdad de volumen con ella tenga un área menor. ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para conocer la respuesta? No lo sabemos, aunque sí esperamos que sea mucho menos del que pasó en el caso de la conjetura del panal de Pappus de Alejandría. Y si esto se produce pronto, aquí estaremos para contarlo.


Y como estoy seguro de que entre vosotros habrá gente a la que le encante montar este tipo de figuras, no puedo dejar pasar esta oportunidad para proporcionaros plantillas para ello. Aquí las tenéis:

Espero que os gusten. Y si conocéis plantillas mejores que éstas no dudéis en comentárnoslo.

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