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Este fin de semana Eduardo Sáenz de Cabezón nos ha representado en Famelab con su gran monólogo Un teorema es para siempre (podéis verlo en inglés aquí). En dicho monólogo nos hablaba sobre la historia del problema del rellenado mínimo del plano y del espacio. En este post vamos a repasar la historia de estos problemas.
Lo primero que toca es explicar qué queremos decir cuando hablamos de rellenado «eficiente» o «mínimo». Una forma de rellenar el plano será «mínima» (o «la más eficiente») cuando a igualdad de área con cualquier otro «rellenado» el perímetro total sea menor, y para el caso del espacio será cuando a igualdad de volumen el área total sea mínima.
En lo que se refiere al plano, en la actualidad se sabe que el rellenado mínimo se consigue con hexágonos regulares. Parece que esta cuestión proviene del siglo I a. C., en el que Marco Terencio Varrón habla sobre los hexágonos de los panales de las abejas en un libro suyo de agricultura. Pero en realidad el problema ha pasado a la historia relacionado con Pappus de Alejandría, que lo cita en su Libro V (unos 400 años después), como la conjetura del panal (de todo esto ya habíamos comentado algo por aquí)…
…y eso fue, una conjetura, durante muchísimos años, hasta el siglo XX. En 1943, L. Fejes Tóth prueba la conjetura del panal, pero considerando como hipótesis inicial que las celdas son polígonos convexos. Y la cosa se mantuvo así unos 50 años más. En 1999, Thomas Hales publica una demostración general de la conjetura del panal en su trabajo The honeycomb conjecture, en el que prueba que, efectivamente, el hexágono regular es la figura más eficiente.
Para terminar esta parte, quizás sea interesante dar los datos de los perímetros de varias figuras simples para compararlos con el hexágono regular. Lo vamos a hacer con los otros dos polígonos regulares con los que se puede rellenar el plano, el triángulo equilátero y el cuadrado, y vamos a ver cuánto mide el perímetro de cada uno para el caso en el que las áreas de los tres sean iguales a 1:
Como en todas las situaciones tipo la descrita, preguntarse cómo sería el paso a las tres dimensiones es prácticamente obligado. En 3D, la pregunta sería la siguiente: ¿cuál es la figura tridimensional que a igualdad de volumen tiene menor área? Ésa sería la figura «más eficiente» o «mínima».
Lord Kelvin conjeturó a finales del siglo XIX que sería un octaedro truncado,
pero no consiguió demostrar que en realidad esa figura es la mejor para rellenar el espacio. A partir de aquí, este tema pasó a denominarse problema de Kelvin o conjetura de Kelvin. En este enlace podéis ver una animación de cómo se puede rellenar el espacio tridimensional con octaedros truncados (vía este comentario de Albert).
Estando entonces en el estado de «conjetura», si alguien la resolvía sería porque se dieran alguna de estas dos situaciones:
- Que se demostrara que la conjetura era cierta (como pasó con la del panal).
- Que se encontrara un contraejemplo a dicha conjetura.
Y fue esta segunda la que se presento, En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan encontraron un contraejemplo a la conjetura de Kelvin sobre rellenado del espacio tridimensional. Weaire y Phelan encontraron una figura que, a igualdad de volumen, tenía menor área que el octaedro truncado, y la denominaron (después de un gran alarde de imaginación) estructura de Weaire-Phelan, que está formada por dos dodecaedros irregulares con caras pentagonales y seis tetradecaedros con dos caras hexagonales y doce caras pentagonales pegados como puede verse en la siguiente figura:
Seguro que muchos veis que esta figura es rarísima, ¿verdad? Pues es interesante resaltar que se utilizó como base para construir la pared exterior del Beijing National Aquatics Centre, edificio en el que se celebraron las pruebas de natación de las Olimpiadas de Pekín 2008:
Por cierto, creo que es necesario comentar que el área de la estructura de Weaire-Phelan es un 0.3% menor que la de la estructura de Kelvin.
Y, bueno, ahí sigue la cosa. No se sabe si la estructura de Weaire-Phelan es «la más eficiente», o si por el contrario hay otra figura tridimensional que a igualdad de volumen con ella tenga un área menor. ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para conocer la respuesta? No lo sabemos, aunque sí esperamos que sea mucho menos del que pasó en el caso de la conjetura del panal de Pappus de Alejandría. Y si esto se produce pronto, aquí estaremos para contarlo.
Y como estoy seguro de que entre vosotros habrá gente a la que le encante montar este tipo de figuras, no puedo dejar pasar esta oportunidad para proporcionaros plantillas para ello. Aquí las tenéis:
- Octaedro truncado (aquí tenéis otra más curiosa).
- Estructura de Weaire-Phelan.
Espero que os gusten. Y si conocéis plantillas mejores que éstas no dudéis en comentárnoslo.
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Vi el monólogo «Un teorema es para siempre» el otro día y la verdad es que me encantó. Os recomiendo que lo veáis.
Información Bitacoras.com…
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[…] Pappus, Hales y Kelvin, Weaire y Phelan, o cómo rellenar el plano y el espacio de la manera más ef… […]
Hola Gaussianos, hice un comentario a este post pero, por distracción, en el sitio equivocado. Comencé con “No sé donde he visto ya este post”….Y bueno donde lo había visto era en tu mismo blog el mes de mayo. Me da risa, si hasta llegué a pensar, al ojear de nuevo esta entrega tuya, que me habías censurado porque no vi el comentario del caso. Yo también me he vuelto tu fan porque me parece muy loable tu blog. Saludos.
Hola cuando dices «…estructura de Weaire-Phelan, que está formada por dodecaedros irregulares con caras pentagonales y seis tetradecaedros con…» creo que querías decir «…estructura de Weaire-Phelan, que está formada por DOS dodecaedros irregulares con caras pentagonales y seis tetradecaedros con…»
Sin el DOS lo he tenido que leer varias veces y no lo entendía, (a lo mejor es mi problema,…)
A parte, aquí he encontrado una animación de como el octaedro truncado tesela el espacio:
http://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/espacio/truncatedoctahedrontesela.html
Muy buen post Diamond, muy interesante, saludos cordiales
Acido, pienso igual que tú, el monólogo me parece muy bueno :).
Luis GSA, muchas gracias por tus comentarios :).
Albert, cierto, falta un «dos». Lo añado ahora mismo. Ah, y ya de paso añado también el enlace que aportas, que me ha gustado :).
No podía imaginarme como se les pudo ocurrir a Weaire y Phelan esta estructura, pero por lo que he leído parece ser que les ayudó la Naturaleza.
Según parece hay varios compuestos químicos que cristalizan según esta estructura. Asombroso.
[…] Este fin de semana Eduardo Sáenz de Cabezón nos ha representado en Famelab con su gran monólogo Un teorema es para siempre (podéis verlo en inglés aquí). En dicho monólogo nos hablaba sobre la historia del problema del rellenado mínimo del plano y del espacio. En este post vamos a repasar la historia de estos problemas. […]
Yo estuve un tiempo investigando (a lo «bruto», no soy matemático) algo parecido con la superficie de una esfera. Parece que el uso de hexágonos y pentágonos (como se hace en los balones de fútbol) es la solución.
¿Podríais añadir algo sobre esto? Yo sería feliz porque seguramente me descubráis algo nuevo.
¡Saludos!
Vale tu inquietud Tricotón, lo cierto es que cuando nos referimos a Pappus, Hales y Kelvin, Weaire y Phelan, tratamos acerca de la ocupación total del espacio, cuya forma que le contiene es aun indeterminada, desde el momento que te refieres a la «superficie una esfera», me viene a la mente las estructuras geodésicas, cuya tipología mas simple (remitiéndonos a B. Fuller) esta constituida por hexágonos organizados en torno a pentágonos. Espero que en esa dirección encuentres lo que buscas. Saludos!
Hola Diamond, lo siento pero creo que no he entendido bien el post.
Se dice que «Una forma de rellenar el plano será “mínima” (o “la más eficiente”) cuando a igualdad de área con cualquier otro “rellenado” el perímetro total sea menor, y para el caso del espacio será cuando a igualdad de volumen el área total sea mínima.»
Yo tenía entendido que era el círculo el que menor ratio área/perímetro tenía. Es decir, pi de perímetro cuando el área es 1. ¿Por qué el hexágono entonces? No lo entiendo…
Siguiendo el principio básico de la asociación de la materia en la naturaleza, la materia se asocia para conseguir la máxima capacidad con la mayor resistencia con el mínimo material y la menor cantidad de energía. Por lo tanto, cuando el elemento es aislado, como una gota de agua o una pompa de jabón (excenta), el objeto es esférico, por que la esfera es la forma capaz de concentrar el mayor volumen con la mínima superficie, luego, seguramente si le pido a alguien una burbuja cuadrada, pensara que estoy loco, sin embargo cuando estas se juntan los encuentros generan planos… Lee más »
Pablo, con círculos no puedes rellenar un plano porque, o dejas huecos sin rellenar o se solapan con lo que el perímetro total es mayor que con hexágonos contiguos.
Hola Pablo, te puedo responder yo también si quieres (cuando estaba escribiéndolo vi la respuesta de JJGJJG). El círculo es la figura plana (o «curva» cerrada», polígono, etc) tal que UNA sola figura plana ENCIERRA más área para un perímetro dado, o que tiene menor perímetro para un área a encerrar. Pero el problema que se plantea aquí es diferente. Aquí no se trata de encerrar un área con el mínimo perímetro sino de CUBRIR un área y no finita sino en este caso el plano infinito, no con una sino con múltiples figuras (infinitas) planas finitas repetidas. Es lo… Lee más »
Tengo unos cuantos comentarios al hilo principal: 1. La tabla que muestra la relación entre el area y perímetro para el caso plano, debería ser valores mitad de lo que aparecen. El valor mostrado es para una única tesela, pero todas los lados de una tesela se comparten de dos en dos, por lo que al rellenar todo el espacio, se ha utilizado la mitad de perímetro para rellenarlo por cada unidad de area. Se ve muy rápido generalizando una cuadricula. 2. Ya se que el problema original es para un plano sin curvatura, pero y si tuvieramos un plano… Lee más »
Cartesiano Caotico, comento tus comentarios (valga la redundancia): 1. Creo que la tabla compara los perímetros de cada tesela y no el total de líneas. Es lo mismo para comparar el relleno con polígonos regulares ya que es equivalente, como tu bien dices, a comparar la longitud total al ser compartido cada lado por dos polígonos contiguos. 2. En el caso de las superficies curvas el problema reside en establecer el criterio para decidir qué «polígonos es lícito emplear como tesela, aunque parece que la mejor opción sería llenarla de hexágonos «casi regulares». 3. Los dos tipos de poliedros utilizados… Lee más »
JJGJJG, 1. Yo creo que habría que ser riguroso. Aunque es cierto que da igual dividir todo por 2 o no para estudiar el mínimo, tiene más sentido calculando sobre el perímetro total usado. 2. No veo por qué hay que establecer un criterio para decidir que polígonos son lícitos. Mientras rellenen completamente y son solape… En principio no parece demostrado que sean hexágonos la mejor solución. Un balón de futbol parece rellenarse bien usando hexágonos y pentágonos. Si usaramos una tesela formada por un conjunto de ellos (para que sea una tesela única repetitiva) lo malo es que no… Lee más »
undefined soy yo, no se que ha pasado que tenía problemas con la página.
como no me salían los símbolos que pretendia poner os dejo este dibujo un poco cutre pero mucho más claro
https://docs.google.com/drawings/d/1crJY3f25mvCv2dtnMpve55WkMHI8b1iLymDpBC_IKtg/edit?usp=sharing
Yo también comento lo que he pensado de las 3 cuestiones: 1. Se trata de una relación entre área y perímetro… pero esta relación expresada así no creo que tenga mucho sentido. Me explico: el área son unidades cuadradas (2D, metros cuadrados, etc) mientras que el perímetro son unidades lineales simples (1D, metros, etc). ¿tiene sentido dividir la una por la otra? Por ejemplo, un cuadrado, 1 metro cuadrado dividido por 4 metros igual a un cuarto de metro… ¿qué sentido tiene ese cuarto de metro? Si elegimos la mitad sería 1 metro cuadrado dividido por 2 metros igual a… Lee más »
Creo que no se considera el problema de una manera completa. Analicemos el caso del plano: Su superficie es infinita y deberíamos establecer, para eliminar la ambigüedad de la pregunta, un límite para el área de cada polígono individual. El hecho de que el hexágono envuelva la superficie máxima con el perímetro mínimo no resuelve totalmente el problema. Si elegimos un hexágono de 1 metro cuadrado de área tendremos una determinada relación entre área cubierta y perímetro empleado. Si duplicamos el área multiplicaríamos el perímetro por raíz de 2 con lo que la relación ha mejorado utilizando el mismo polígono.… Lee más »
Ácido, tienes toda la razón en el punto 1. Yo ya estaba escamado con que la relación área-perímetro no fuera a dimensional. Pero al quedar definida el área como unitaria parecía resolverse aparentemente. Al tratarse de un espacio infinito, no importa el «tamaño» de la tesela para calcular la «forma» óptima. JJGJJG, creo que lo que se busca es la «forma óptima» por lo que el tamaño no debería importar (en superficies infinitas), aunque tu desambiguacion me parece correcta. En cuanto al punto 2, evidentemente para una esfera finita tomar teselas más y más grandes optimiza el rellenado, pero como… Lee más »
la respuesta deberia darla la FISICA 🙂
supongamos que APRETAMOS fuertemente unos redondeles o unas determinadas figuaras de manera que la presion este uniformemente distribuida entonces el resultado deberia de ser una figura o poliedro que aprovechase al maximo el espacio con la presion sometida igual que en parte pasa con al gravedad y presion de los panales de ABEJA 🙂
Jose. Si inflamos un conjunto de globos planos dispuestos de forma hexagonal, se apretarán unos contra otros formando una configuración hexagonal.
Pero, y si colocamos los globos con otra configuración? Por ejemplo en cuadrado? Saldrá una retícula cuadrada.
[…] razones trigonométricas “existen”? ¿Cómo encontrar el número e en el triángulo de Pascal Pappus, Hales y Kelvin, Weaire y Phelan, o cómo rellenar el plano y el espacio de la manera más ef… Títulos épicos de trabajos […]
Visualizar la célula de Fejes Tóth es una muy difícil tarea. Lo mejor es construir una plantilla de cartulina del siguiente modo: Imaginar dos pirámides rectas de base cuadrada unidas por dicha base. Las caras laterales son ocho triángulos isósceles de igual base que altura. Cortar dichos triángulos a la mitad de su altura, paralelamente a la base. Quedan cuatro trapecios iguales por cada pirámide. Cortamos las puntas de la base de los trapecios a una cuarta parte de dicha base y a la mitad de su altura. Quedan ocho hexágonos no regulares con sus lados opuestos paralelos, que son… Lee más »
Para Tricotón | 13 de junio de 2013 | 19:37 El cuerpo volumétrico más eficiente es la esfera. Pero esta figura no tesela o rellena el espacio ya que deja huecos al colocar muchas esferas tangentes. Hay infinidad de figuras poliédricas de lo más variado que sí rellenan el espacio, pero no son las más eficientes tal y como se dice meridianamente explicado en el artículo. Para simular una esfera con un poliedro, lo más cómodo es tomar un poliedro semiregular Arquimediano de muchas caras, por ejemplo el dodecaedro chato (snub dodecahedron) o su dual (pentagonal hexecontaedro) y ya para… Lee más »
Me enteré de la estructura de WP por una charla TED que presencié (www.youtube.com/watch?v=jej8qlzlAGw) y recién terminé de construirla a partir del enlace que ofrecen aquí.
¿Para cuándo una iniciativa como la del poliedro de Császár? 🙂
Fernando (9 Marzo 2015), gracias por el enlace: ¡Qué bueno el Profesor que sale en el vídeo! Maravillosa su disertación sobre el teselado eficiente del plano y del espacio, amena y cargada de expresividad. Por cierto, las estructuras de los panales de las abejas (prismas hexagonales apuntados en rombododecaedros) cuya eficiencia se atribuía a una «inteligencia» natural de estos animalitos (conjetura), ha sido desbancada (demostración) por las fuerzas de tensión en los fluidos casi pastosos, actuando sobre la cera aún caliente, debido al calor del insecto en su afanosa labor. Relacionado con estos temas, tal vez puede que te interese… Lee más »
Muy buenas gaussianos,
Solo quería pedirte si sabías una fórmula para hallar el volumen y el área de este cuerpo, que me viene genial para hacer un trabajo.
Gracias
Hola por favor dime, encontraste respuesta a tu pregunta?
estoy en un proyecto y ahora con escutoide y no encuentro formula para hallar area y volumen,por favor ayuda.
Para Carlos (3 junio 2015):
A qué cuerpo te refieres: a la estructura de Fejes Tóth, que yo comenté en este mismo espacio, al prisma romboédrico de las abejas o a la estructura de Weaire y Phelan.
No obstante y para que vayas adelantando el trabajo, te diré que un cuerpo cuando tiene una forma geométrica más o menos conocida es relativamente fácil calcular su volumen y área. Por el contrario, cuando sea desconocido hay que lograr descomponerlo en cuerpos geométricos más sencillos, sumando los elementos integrantes.
Saludos
El escutoide parece un buen sustituto, es la forma que adaptan las células en estructuras tridimensionales y que además existe porque no ha habido ningún ser pluricelular con mejores teselados en sus células.
Hola y sabes la formula para hallar el área y volumen del escutoide? por favor, Mi correo es: angeloyamir@gmail.com
Pero la estructura de Weaire-Phelan no es convexa, luego no es una generalización del teorema para 2D.
El teorema en 2D, debido a Thomas Hales, no pide convexidad. Ésa era una condición que imponía Fejes Tóth.
Está horrible la barra fija que dice gaussiano, no me deja leer nada