Comienza la semana, y qué mejor momento que éste para intentar resolver el problema semanal de Gaussianos. Ahí va el enunciado:
Hallar todas las funciones
tales que para cualesquiera
se verifica que
.
Que se os dé bien.
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Empezando por una fácil f(x)=x
Vamos a darle vidilla.
Haciendo
se obtiene que
.
De aquí se puede deducir que
ha de ser BIYECTIVA.
Es inyectiva: Si
, entonces
de donde
.
Es sobreyectiva: Fijemos
y sea
. Es claro que
.
Y hasta aquí puedo leer.
¿Mi conjetura? Que la única función es la identidad.
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Valora en Bitacoras.com: Comienza la semana, y qué mejor momento que éste para intentar resolver el problema semanal de Gaussianos. Ahí va el enunciado: Hallar todas las funciones tales que para cualesquiera se verifica que . Que se os dé bien….
Si
es derivable entonces,
y evaluando en
, se obtiene
Por tanto
y como es inyectiva
.
¿Y por qué no puede dar
?
Toda la razón, ya me di cuenta, pero era demasiado tarde para corregir el patinazo…
Además tampoco,
implica
, por ejemplo
no lo cumple. Pero sí se tendría si
(que era en lo que estaba pensando).
En fin, que malos son los lunes…
Por el momento, si solo nos concentramos en funciones afines de
y teniendo en cuenta
, entonces
. Como la igualdad anterior es valida para todo
,
o
con dos soluciones
.
.
Por tanto solo tres soluciones afines
Hay soluciones no afines? Mi intuicion es que no. Pero no lo he podido demostrar.
Si suponemos que
entonces
para todo
.
Haciendo
y sustituyendo en la ecuación original, se obtiene
Por otro lado, haciendo
en la ecuación original, se
obtiene
, luego
BRAVO! RB. Eso era justo lo que me faltaba. Mira esto. Llamemos . Entonces, haciendo en la ecuación original, se tiene que que (Ec1). Entonces, y . Haciendo en la ecuación original, se obtiene que (Ec2). Ahora bien, hagamos una siguiente iteración. Por un lado, aplicando (Ec2), . Pero por otro lado, aplicando (Ec1) . Por lo tanto, se deduce que , de donde . Supongamos que , es decir, . Entonces, , lo que entra en contradicción con que la función es BIYECTIVA (y en particular, INYECTIVA). Por lo tanto, la única posibilidad es que , de donde se… Lee más »
Estupendo RB y Tito Eliatron. Otra forma de ver que
es la siguiente:
por ser
sobreyectiva, existe
tal que
. Aplicando la condición inicial con
se tiene que
, y volviendo a aplicar
(y usando que
):
de donde se deduce directamente que
.
Mucho más elegante, dónde va a parar.
De hecho, no hace falta usar SOBREYECTIVIDAD, ya que es fácil comprobar que
Este comentario es una prueba.
Tio Eliatron en tu prueba de
, sigo tu razonamiento hasta la conclusión
. Sin embargo, el siguiente paso no lo entiendo: Al suponer que
, escribes
, sin embargo, según la ecuación (Ec1)
y por tanto, no se llegaría a contradicción la inyectividad ¿por qué afirmas al llegar ahí qué
en lugar de
? Lo más probable es que se me escape algo que no veo.
Por otro lado, M como siempre brillante, elegante y conciso en tus razonamientos. Todos los problemas que he visto que has resuelto he notado bastante madurez y estoy aprendiendo de eso, gracias.
Cierto, es un fallo mío.
El razonamiento funciona bien para el caso
.
Si
, entonces por (Ec1),
.
Para el otro caso:
habría que arreglarlo.
Arreglemos el último caso (más que nada, para quedarme yo tranquilo).
Supongamos que
, entonces (Ec1) queda como
.
Así,
;
; por lo que
. Claramente esto es imposible.