En multitud de ocasiones, en cualquier ámbito de nuestra vida, matamos moscas a cañonazos. Es decir, hacemos algo utilizando muchos más recursos (ya sean físicos, económicos…) de los que en realidad hacen falta. Como encender una vela con un lanzallamas, por poner un ejemplo.

La cuestión es que en matemáticas esto también ocurre. De hecho ocurre de manera relativamente frecuente. Seguro que muchos de vosotros conocéis algún resultado matemático para el que existe una demostración que utiliza algún otro resultado mucho más potente que el que se quiere demostrar pero que por otra parte posee alguna manera mucho más sencilla de demostrarse. Algo así como acudir a la Topología para demostrar la infinitud de los números primos cuando poseemos este sencillo argumento de Euclides para ello.

Lo que os traigo hoy es otro ejemplo de este fenómeno, otro caso en el que matamos un teorema sencillo con una demostración cañón.

Irracionalidad de \sqrt[n]{2}

Hace ya bastante tiempo vimos en este blog dos demostraciones de la irracionalidad de \sqrt{2}. Pero no se hablaba nada sobre \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2}, etc. El teorema cuya demostración vamos a reproducir va a demostrar de una tacada la irracionalidad de todas ellas.

Teorema: Si n \ge 3, entonces \sqrt[n]{2} es irracional.

Demostración:

Supongamos que \sqrt[n]{2} es racional, es decir:

\sqrt[n]{2}=\cfrac{a}{b}

con a,b números enteros positivos primos relativos.

Si elevamos a n esta igualdad obtenemos lo siguiente:

2=\cfrac{a^n}{b^n}

Multiplicando a ambos lados por b^n llegamos a:

2b^n=a^n

Y como 2b^n=b^n+b^n, la expresión que conseguimos es esta:

a^n=b^n+b^n

Pero aplicando el último teorema de Fermat esta expresión no puede darse para ningún valor entero positivo de a y b. Por tanto \sqrt[n]{2} es irracional. \Box

¿Verdad que el título matar moscas a cañonazos viene que ni pintado? Utilizar el teorema de Fermat-Wiles para demostrar la irracionalidad de \sqrt[n]{2} es excesivo teniendo en cuenta la forma tan sencilla de demostrar dicho resultado que poseemos:

Teorema: Si n \ge 3, entonces \sqrt[n]{2} es irracional.

Demostración:

Supongamos que \sqrt[n]{2} es racional, es decir:

\sqrt[n]{2}=\cfrac{a}{b}

con a,b números enteros positivos primos relativos.

Si elevamos a n esta igualdad obtenemos lo siguiente:

2=\cfrac{a^n}{b^n}

Multiplicando a ambos lados por b^n llegamos a:

2b^n=a^n

Por tanto, a^n es par y, en consecuencia, también lo es a. Supongamos a=2k, con k\in\mathbb{N} y sustituyamos su valor en la expresión anterior:

2b^n=(2k)^n

Dividiendo a ambos lados entre 2 llegamos a:

b^n=2^{n-1} k^n

Y de aquí, como n\ge 3, se tiene que b también es par.

Hemos obtenido que a y b son pares, es decir, tiene a 2 como divisor común. Pero esto es imposible, ya que a y b eran primos relativos (es decir, su máximo común divisor es 1). Llegamos entonces a una contradicción. Por tanto \sqrt[n]{2} es irracional. \Box

Como veis, aunque las dos demostraciones son válidas, la segunda es mucho más elemental.

La demostración desproporcionada se debe a W. H. Schultz y aparece en este post de Gödel’s Lost Letter and P=NP dedicado al April Fool’s Day junto con dos demostraciones de otros resultados que van en la misma línea.

¿Conocéis algún otro resultado que posea una demostración que pueda calificarse como matar moscas a cañonazos?

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