Introducción

En el artículo del pasado lunes sobre Joseph Bertrand hablamos de su famoso postulado, cuyo enunciado es el siguiente:

Postulado de Bertrand

Dado n un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo p entre n y 2n, es decir:

\forall n > 1, \exists p \mbox{ primo tal que } n < p < 2n

En este mismo artículo comentamos que la primera demostración conocida de la veracidad de esta conjetura se debe a Chebychev, y que tanto Ramanujan como Ërdos habían dado más adelante pruebas más simples de este hecho. La de Ërdos la podéis consultar aquí y la de Ramanujan es la que vamos a desarrollar en esta entrada.

Demostración de la veracidad del postulado de Bertrand

La demostración que vamos a reproducir aquí, atribuida a Ramanujan, puede resultar algo complicada de seguir. Por ello debemos estar muy atentos a cada paso.

Sea x un número natural mayor que 1. Comenzamos definiendo \nu (x) como la suma de los logaritmos de todos los números primos menores o iguales que x, es decir:

\nu (x) = \displaystyle{\sum_{p \le x, \; p \; primo} log(p)}

Tomamos ahora las siguientes expresiones:

\psi (x)= \nu (x)+ \nu(x^{\textstyle{\frac{1}{2}}})+ \nu (x^{\textstyle{\frac{1}{3}}})+ \ldots (1)
log [ x ] ! = \psi (x)+\psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x)+ \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x)+ \ldots (2)

donde [ x ] es la parte entera de x (es decir, el mayor número entero que es menor que x).

A partir de (1) se obtiene fácilmente (sólo con realizar las operaciones) que:

\psi (x)-2 \psi ( \sqrt{x} )= \nu (x) - \nu (x \textstyle{\frac{1}{2}})+ \nu (x \textstyle{\frac{1}{3}}) - \ldots (3)

Y a partir de (2), también de forma sencilla, obtenemos lo siguiente:

log [x ] !-2 log [ \textstyle{\frac{1}{2}}x ] != \psi (x)- \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x)+ \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x) - \ldots (4)

Dado que \nu (x) y \psi (x) son funciones crecientes, obtenemos a partir de (3) y (4) que las siguientes desigualdades son ciertas:

\psi (x)-2 \psi (\sqrt{x}) \le \nu (x) \le \psi (x) (5)
\psi (x)- \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x) \le log [x ] !-2 log [ \textstyle{\frac{1}{2}}x ] ! \le \psi (x) - \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x) + \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x) (6)

Por otra parte, puede demostrarse que (a ver quién se atreve a hacerlo en los comentarios):

log (\Gamma (x))-2 log (\Gamma \textstyle{\frac{1}{2}} x+\textstyle{\frac{1}{2}}) \le log [x ] !-2 log [ \textstyle{\frac{1}{2}}x ] ! \le log (\Gamma (x+1))-2 log (\Gamma \textstyle{\frac{1}{2}} x+\textstyle{\frac{1}{2}}) (7)

Ahora, ayudándonos de la aproximación de Stirling obtenemos lo siguiente a partir de (7):

log [x ] !-2 log [ \textstyle{\frac{1}{2}}x ] ! < \frac{3}{4} x, \mbox{ si } x > 0 (8)

log [x ] !-2 log [ \textstyle{\frac{1}{2}}x ] ! > \frac{2}{3} x, \mbox{ si } x > 300 (9)

Uniendo ahora la información proporcionada por (6), (8) y (9) se ve claramente que:

\psi (x)- \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x) < \frac{3}{4} x, \mbox{ si } x > 0 (10)
\psi (x)- \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x)+ \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x) > \frac{2}{3} x, \mbox{ si } x > 300 (11)

Tomemos ahora la expresión (10) y cambiemos x por \textstyle{\frac{1}{2}} x, \textstyle{\frac{1}{4}} x, \textstyle{\frac{1}{8}} x, \ldots y sumemos los resultados. Obtenemos lo siguiente:

\psi (x) < \frac{3}{2} x, \mbox{ si } x > 0 (12)

Uniendo en este punto la información proporcionada por (5) y (12) llegamos a (13):

\begin{matrix} \psi (x) - \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x) + \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x) \le \\ \le \nu (x) + 2 \psi (\sqrt{x}) - \nu (\textstyle{\frac{1}{2}} x) + \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x) < \\ < \nu (x) - \nu (\textstyle{\frac{1}{2}} x)+\textstyle{\frac{1}{2}} x + 3 \sqrt{x} \end{matrix}

Y utilizando este punto (13) junto con el (11) se obtiene:

\nu (x) - \nu ( \textstyle{ \frac{1}{2}} x) > \frac{1}{6} x - 3 \sqrt{x} , \mbox{ si } x > 300 (14)

Por otra parte, es evidente que:

\frac{1}{6} x- 3 \sqrt{x} \ge 0, \mbox{ si } x \ge 324

En consecuencia tenemos:

\nu (2x)- \nu (x) > 0, \mbox{ si } x > 162 (15)

Este hecho finaliza la demostración para x > 162. ¿Por qué? Muy sencillo. Recordemos que \nu (x) era la suma de los logaritmos de todos los números primos menores o iguales que x, y lo que hemos obtenido que es que esa suma es mayor para 2x que para x. Esto sólo puede ocurrir si en la suma para 2x aparece algún logaritmo más que los que aparecen en la suma para x. Y para que ello ocurra debe haber algún número primo entre x y 2x (no puede ser el propio 2x, ya que es un número par y por tanto compuesto) que aporte ese logaritmo a la suma. Es decir, hemos demostrado que para x \ge 162 existe al menos un número primo entre x y 2x. Comprobando ahora la veracidad de la conjetura para valores de x menores que 162 (sencillo) se demuestra en su totalidad el postulado de Bertrand.

Fuente:

Como habéis podido ver la demostración es relativamente elemental, pero algo complicada de seguir. Además contiene algunos pasos que no se demuestran pero que no parecen totalmente evidentes. No estaría mal que alguno de vosotros los aclarara en un comentario.

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