Esta semana, por ser algo especial y por tema de tiempo tendremos un par de problemas en vez de artículo. Vamos con el primero, sencillito:
Demostrar que
es múltiplo de 7.
El siguiente problema para mañana.
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este problema me cayó a mi en la olimpiada matématica jeje
Bueno, parece que por fin puedo participar con algo de matemáticas discretas, jeje.
Usando congruencias, debemos demostrar que:

(basta dividir 2222/7 y quedarnos con el resto) y que 
Por un lado comprobamos que
Tenemos por tanto
y que
(un vistazo al teorema de Euler-Fermat: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler).
Podemos comprobar además, que
También
y
, por lo que:
y
.
Juntándolo todo y ampliando las potencias:
, pero como
y
, entonces nos queda:
, es decir,
, lo cual es cierto, ya que
.
Un saludo!
lucagali de ahí precisamente lo he sacado :).
Pablo Reyes muy bien reuelto :).
Una manera alterna de encontrar la solucion, aunqe algunos dirian qe es mas engorrosa, seria observar el compartamiento de las potenicas de 3 y 4 en modulo 7, encontrando los ciclos de ambas potencias. Llegando a la conclucion que 3^5 = 5 mod 7 y qe 5555 = 5 mod 6 (usamos el 6 ya qe es el ciclo de las potencias de 3 en mod 7). Al tener esto se ve que 3^5555 = 5 mod 7. De la misma manera tenemos que 4^2 = 2 mod7 y qe 2222 = 2 mod3 (aqi el ciclo es de 3).… Lee más »
Pablo,
Al final se te fué la tecla, 259 = 7 * 37 (no 9 * 37).
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Ups! Gracias fcsarra 😉