2+5=7

Publicado por ^DiAmOnD^ | 22 diciembre, 2008 | Juegos | 6 |

Esta semana, por ser algo especial y por tema de tiempo tendremos un par de problemas en vez de artículo. Vamos con el primero, sencillito:

Demostrar que $2222^{5555}+5555^{2222}$ es múltiplo de 7.

El siguiente problema para mañana.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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lucagali

22/12/2008 10:56

este problema me cayó a mi en la olimpiada matématica jeje

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Pablo Reyes

22/12/2008 12:33

Bueno, parece que por fin puedo participar con algo de matemáticas discretas, jeje.

Usando congruencias, debemos demostrar que:
$2222^{5555}+5555^{2222}=0 mod 7$
Por un lado comprobamos que $2222=3 mod 7$ (basta dividir 2222/7 y quedarnos con el resto) y que $5555=4 mod 7$

Tenemos por tanto $3^{5555}+4^{2222}=0 mod 7$
Podemos comprobar además, que $3^6=1 mod 7$ y que $4^3=1 mod 7$ (un vistazo al teorema de Euler-Fermat: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler).

También $5555=925*6+5$ y $2222=740*3+2$ , por lo que:
$3^{5555}=3^{925*6}*3^{5}$ y $4^{740*3}*4^{2}$ .

Juntándolo todo y ampliando las potencias: $3^{{6}^{925}}*3^{5}+4^{{3}^{740}}*4^{2}=0 mod 7$ , pero como $3^6=1 mod 7$ y $4^3=1 mod 7$ , entonces nos queda:
$3^5+4^2=0 mod 7$ , es decir, $259=0 mod 7$ , lo cual es cierto, ya que $259=9*37$ .

Un saludo!

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^DiAmOnD^

22/12/2008 15:31

lucagali de ahí precisamente lo he sacado :).

Pablo Reyes muy bien reuelto :).

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Kou

23/12/2008 07:05

Una manera alterna de encontrar la solucion, aunqe algunos dirian qe es mas engorrosa, seria observar el compartamiento de las potenicas de 3 y 4 en modulo 7, encontrando los ciclos de ambas potencias. Llegando a la conclucion que 3^5 = 5 mod 7 y qe 5555 = 5 mod 6 (usamos el 6 ya qe es el ciclo de las potencias de 3 en mod 7). Al tener esto se ve que 3^5555 = 5 mod 7. De la misma manera tenemos que 4^2 = 2 mod7 y qe 2222 = 2 mod3 (aqi el ciclo es de 3).… Lee más »

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