Una de las cosas que nos enseñan cuando estudiamos matrices es calcular la inversa de una matriz, operación importante y necesaria en muchas situaciones. Seguro que muchos recordaréis que la inversa de una matriz solamente se podía calcular si dicha matriz era cuadrada (mismo número de filas y de columnas) y además su determinante era distinto de cero. Y también es más que probable que muchos conozcáis varias formas de calcularla en los casos en los que es posible.

Y que sepáis que para usar una de las más conocidas, hay que calcular, entre otras cosas, el adjunto de cada uno de los elementos de la matriz. ¿Y qué es el adjunto? Pues, como me dijo un alumno mío el otro día, es lo siguiente:

El adjunto del elemento ij de una matriz se calcula multiplicando por -1, si i+j es impar, o por +1 (o sea, no haciendo nada), si i+j es par, el determinante de la matriz que queda si tratamos al elemento ij como una bomba del Bomberman colocada en una intersección:

(Tomada de aquí)

(Tomada de aquí)

(Tomada de aquí)

¿Se os había pasado por la cabeza? A mí no, y me gustó mucho desde que la escuché.

Pero bueno, como seguro que hay gente que no ha llegado a comprender bien todo esto vamos a explicar un poquito más de qué va el tema.

Inversas, adjuntos y explosiones en Bomberman

Bueno, como decíamos antes posiblemente la forma más extendida de calcular la inversa de una matriz es la fórmula siguiente:

A^{-1}=\cfrac{1}{det(A)} \cdot (Adj(A))^T

siendo

  • det(.) el determinante de la matriz,
  • Adj(.) la matriz adjunta, y
  • (.)^T la matriz traspuesta.

Parémonos en la segunda, en la matriz adjunta. Esta matriz está formada por los adjuntos de cada uno de los elementos de la matriz inicial. ¿Qué es el adjunto de un elemento de una matriz? Pues muy sencillo. Dada una matriz cuadrada A, el adjunto de un elemento suyo a_{ij} es igual al determinante de la matriz que queda al eliminar de A la fila i y la columna j multiplicado por (-1)^{i+j}.

El caso es que parece que no son pocos los que olvidan qué es esto de los adjuntos. ¿Cómo podemos arreglar esto? Fijando para siempre en la mente de todos la manera de realizar este cálculo. Y el otro día en clase este alumno me dio la idea magnífica de la que os he hablado al principio de este post. El término (-1)^{i+j} es -1 si i+j es impar y 1 si i+j es par, como comentaba mi alumno. Uniendo esto a la explosión bombermaniana del término a_{ij} tenemos nuestro adjunto.

Sencillamente brillante.

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