Hoy martes os traigo el problema de la semana. Ahí va:
Supongamos que
es un entero positivo mayor o igual que 2 con divisores
. Demuestra que
es siempre menor que
, y determina cuándo es un divisor del propio
Que se os dé bien.
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Mmonchi
La primera ecuación es cierta para i=k-1 pero no en general.
Contraejemplo:
n = 210, sus divisores son 1,2,3,5,6,7,…210
7*6=42
6*5=30 y 42<2*30
Llevas razón, Juanjo.
Llamando q(n) a esa expresión, claramente es q(n) > n. Por otra parte, si n es primo, q(n) = n y evidentemente q(n) | n^2. Y creo que son los únicos casos en que lo hace. Pero esto dista de ser una demostración …
Hola, creo que tengo la primera parte…
Un numero entero, n, se puede expresar:
Donde
es la pontencia del divisor. Elevando al cuadrado:
Desarrollando unos pocos terminos…
La prueba de arriba es inmediata si solo nos restringimos a tomar unos pocos terminos de la suma…
La segunda parte no se me ocurre como abordarla
Un saludo
Hola…he visto mi error, he puesto sumatorios en lugar de productorios…
Pero además, el producto estaría extendido a los factores primos de n, que no son n, sino bastantes menos.
Bueno, la cosa es así d_1 = n/d_k, d_2 = n/d_{k-1}, …., d_k = n/d_1 Entonces, q(n) = d_1*d_2 + d_2*d_3 + … + d_{k-1}*d_k = n^2/(d_{k-1}*d_k) + …. + n^2/(d_2*d_1) = n^2(1/(d_1*d_2) + … + 1/(d_{k-1}*d_k)) Pero {d1, d2, …, d_k} esta incluido en {1, 2, …, n}, y por tanto d_m*d_{m+1} >= m(m+1) ===> 1/(d_m*d_{m+1}) q(n) <= n^2(1/(1*2) + 1/(2*3) + … + 1/((n-1)n) = = n^2(1 – 1/n) = n^2 – n Por otra parte, si q(n) | n^2, como q(n) < n^2 y d_1 = 1, debe ser q(n) = n^2/d_2 donde la igualdad se da… Lee más »
Antes quedo incompleto por culpa de los signos de menor o igual. Veamos ahora: Bueno, la cosa es así d_1 = n/d_k, d_2 = n/d_{k-1}, …., d_k = n/d_1 Entonces, q(n) = d_1*d_2 + d_2*d_3 + … + d_{k-1}*d_k = n^2/(d_{k-1}*d_k) + …. + n^2/(d_2*d_1) = n^2(1/(d_1*d_2) + … + 1/(d_{k-1}*d_k)) Pero {d1, d2, …, d_k} esta incluido en {1, 2, …, n}, y por tanto d_m*d_{m+1} m(m+1) ===> 1/(d_m*d_{m+1}) q(n) n^2(1/(1*2) + 1/(2*3) + … + 1/((n-1)n) = = n^2(1 – 1/n) = n^2 – n Por otra parte, si q(n) | n^2, como q(n) < n^2 y d_1… Lee más »
La idea de Ignacio es buena, aunque hay un problemilla con los subíndices, en realidad sería:
q(n)≤n^2 (1/(1•2)+1/(2•3)+⋯+1/(k-1)k)=n^2 (1-1/k)
Y como (1-1/k) es siempre menor que 1, ya que k es siempre mayor o igual que 2, tendremos que:
q(n)<n^2, que es lo que queríamos probar.
Por otra parte, se puede demostrar que q(n)|n^2 si y sólo si n es primo:
– Si n es primo, entonces q(n)=n y es claro que q(n)|n^2
– Si q(n)|n^2, entonces q(n)|n y entonces q(n)≤n y esto sólo se cumple (además en igualdad) si n es primo.
Marcos: No hay problema con los subíndices, lo que está quizás es poco especificado. Tenemos que q(n) = n^2(1/(d_1*d_2) + … + 1/(d_{k-1}*d_k)) {d_1, d_2, …, d_k} {1, 2, …, n} d_m*d_{m+1} m(m+1) 1/(d_m*d_{m+1}) 1/m(m+1) q(n) n^2(1/(1*2) + …+ 1/((k-1)k)) n^2(1/(1*2) + …+ 1/((n-1)n)) n^2(1 – 1/n) = n^2 – n Por otra parte, ten en cuenta que q(n) | n^2 q(n) | n, eso solo ocurre si q(n) es primo. Por ejemplo, 12 | 36 pero 12 6. La segunda parte creo que no tiene dudas: q(n) < n^2 q(n) n^2/d_2 q(n) = n^2(1/(d_1*d_2) + … + 1/(d_{k-1}*d_k)) =… Lee más »
Ignacio: Cierto, no me refería exactamente a los subíndices, sino a la cota, ya que al utilizar directamente n en vez de k quedaba algo extraño. Pero es cierto que:
q(n)≤n^2 (1/(1•2)+1/(2•3)+⋯+1/(k-1)k)
Y también n^2 (1/(1•2)+1/(2•3)+⋯+1/(k-1)k)≤n^2 (1/(1•2)+1/(2•3)+⋯+1/(n-1)n), con lo que: n^2 (1-1/k)≤n^2 (1-1/n). Aquí hay que hacer notar que si n=2 se cumple la igualdad (ya que k=2), pero para cualquier número mayor que 2 es una desigualdad estricta (ya que k<n).
Con la segunda, parte llevas, razón, se me fue la cabeza, no quedan dudas.
No se ven los divisores
Ya está solucionado. Muchas gracias por avisar :).