Los números reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos criterios de clasificación. En la entrada de hoy vamos a hablar de la subdivisión en números algebraicos y números trascendentes.
Los número algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos, ya que si es un número racional (por tanto
), entonces
es solución de la ecuación polinómica
.
Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional es algebraico. Basta ver que es solución de la ecuación polinómica
para darse cuenta de ello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo,
, que es solución de
. Y con muchos más números irracionales.
Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplos más representativos de este conjunto numérico tenemos al número y al número
.
Viendo que en primera instancia es mucho más sencillo encontrar números algebraicos que números trascendentes uno podría pensar que hay muchos más del primer tipo que del segundo. Nada más lejos de la realidad. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es decir, tiene infinitos elementos pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los números trascendentes es infinito no numerable, esto es, también tiene infinitos elementos pero no los podemos contar. Conclusión: hay muchos más números reales trascendentes que algebraicos.
A la vista de este hecho no se entiende demasiado bien que sea tan complicado encontrar números trascendentes, pero la realidad es esa. Demostrar que un cierto número real es trascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville demostrando que el número
es trascendente. Más adelante Hermite demostró que el número es trascendente y posteriormente Lindemann hizo lo propio con el número
.
Dada la dificultad que tiene encontrar números trascendentes os dejo una lista con los 15 números trascendentes más famosos. Para algunos no existe demostración, pero se cree con gran firmeza que lo son:
- Constante de Euler-Mascheroni:
(no demostrado)
- Constante de Catalan:
(no demostrado)
- Constante de Liouville:
- Constante de Chaitin:
(que además es no computable)
- Número de Chapernowne:
- Ciertos valores de la función
de Riemann, como
- El número de Hilbert:
(no demostrado)
- El número de Morse-Thue:
- Los números de Feigenbaum (no demostrado):
En relación con los números trascendentes tenemos un resultado muy interesante probado de forma independiente por Alexandr Gelfond y Theodor Schneider:
Teorema: (de Gelfond-Schneider)
Si
y
son números complejos algebraicos,
, y
no es racional, entonces
es trascendente.
Este teorema nos ayuda a demostrar que, por ejemplo, es trascendente (¿cómo?).
¿Conocéis otros números trascendentes interesantes que no aparezcan en esta lista? Por otra parte, no sé cuánto hace que Clifford Pickover realizó la misma, por lo que puede que se haya avanzado en la demostración de la trascendencia de alguno de los que hemos comentado que no la tenían. Si sabéis algo del tema os agradecería que dejarais un comentario.
Fuentes:
- The 15 most famous trascendental numbers.
- Sucesión de Thue-Morse en la Wikipedia (es español).
- Números de Feigenbaum en la Wikipedia (en español).
P.D.: Qué raro que en la lista no aparezca el número de Cöpeland-Ërdos: teniendo en cuenta lo curiosa que es su construcción.
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En la Constante de Catalan has puesto mal el
, has puesto «:» en vez de «_»
Me asustó un poco ver
Ups, qué error. La que se lía por cambiar un _ por un : :D. Gracias Naka Cristo.
Los valores de α y β no se restringen sólo a números reales; se admiten todos los números complejos. es una geralizacion del septimo problema de hilbert.
Phi?
Existen mucho más: como i elevado a ln i. 2 elevado a pi, . Quisiera escribir otros, pero el sistema no me permite usar los símbolos o caracteres necesarios. En este caso, estas cantidades las he estudiado por mi mismo.
Phi es algebraico, ya que es la solución a la ecuación x^2+x+1=0 (o sea, x al cuadrado, más x, más 1 = 0). Saludos!
Saludos
Exacto Fabián. Te he editado el comentario para poner bien el código
. Te faltaba la palabra latex después del primer $ en cada fórmula.
Perdonad mi ignorancia, pero hay algo que no comprendo. Por lo que habéis puesto del teorema de Gelfond-Schneider sería claro que que
es transcendente, ¿No?
, y
no es racional. ¿Esto estaría bien? ¿O es que he interpretado mal el teorema?
jose, ya esta. lo dijiste bien,
y pi, cumplen con lo propuesto, pi es diferente de 0.1 y e no es racional es decir irracional.
Pero si está bien lo que he dicho, ¿Por qué en la lista de números trascendentes que se ha dado arriba aparece que
no está demostrado que lo sea? Supongo entonces que ha sido un error al hacer la lista, ¿No?
Jose no, no se puede demostrar a partir de este teorema ya que
no es algebraico, condición indispensable para aplicar el teorema. En el caso de
sí puede aplicarse, pero no porque
sea algebraico. Echa un ojo a este comentario de Fabian.
Ah! Es verdad, no me había dado cuenta de que
y
tienen que ser algebraicos. Eso era lo que fallaba y no me cuadraba en todo el asunto.
Gracias por la aclaración!
cierto, no es raiz de un polinomio
me surgio una duda… . cual es la solucion de
acaso no es
, y si es
entonces es algebraico. pueden aclararme un poco ?. gracias.
Leyendo el post:
Los números algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales.
El número
no es racional.
La parte de tu post «Los números algebraicos son los números reales…» es incorrecta, debe ser sustituida por: «Los números algebraicos son los números reales o complejos…»
Por ejemplo las soluciones de la ecuación x^2 + 1 = 0, que son x = + i o bien x = -i
Así vemos que i es algebraico y no es real. OK.
megusto voz aprobar el esamen de matematica
disculpe q me salga del tema pero me pueden decir tres ejemplos de numeros irracionales algebraicos
Alexandre:
y
.
La constante de Liouville tiene una numerosa, numerable, familia de parientes cercanos, pero con menos ceros: , con entero Por ejemplo, Las expresiones de L(B) en base B son todas iguales. La demostración es bastante sencilla (articulo de poco más de 2 páginas), y se basa en que si los ‘océanos’ de ceros crecen con cierta rapidez, no se pueden cancelar las partes decimales al sumar sus potencias multiplicadas por enteros. Es decir, que no pueden ser soluciones de ecuaciones algebraicas. El artículo es: An «Oceans of Zeros» Proof That a Certain Non-Liouville Number is Transcendental M. J. Knight The… Lee más »
el numero de Loiouville tiene variantes cuando uno eleva cualquiera numero o hace la sumatoria . Como hay un exponen negativo , al colocarse en el denominador, se pone cualquier numero en el numerador y cambian las cantidades
Por favor, quedé muy interesado en como obtener el valor de I elevedo a la I, alguien me puede pasar algún link donde estudiar esto?
no entendi nada! pero me gusto pasar!
DEMOSTRACIÓN DE LA IRRACIONALIDAD DE (π + e). (POR REDUCCIÓN AL ABSURDO). Sabemos que 5 < (π + e) < 6 Supongamos que (π + e) es un número racional periódico . Sea (π + e) = 5,d1d2..dL… , donde d1d2..dL es el período de L dígitos y dL es diferente de cero. Se define el conjunto infinito R1 = ( E1, E2, E3, …), cuyos elementos son los racionales que se forman al agregar uno a uno los dígitos decimales del número e = 2, 71828182845904523360… Entonces, E1 = 2,7 ; E2 = 2,71 ; E3 = 2,718 ;… Lee más »
Corrección:
Si se escoge un elemento de R1 con un número i de dígitos suficientemente grande, se obtiene un Ei, tal que
(π + e) – (π + Ei) = 0, 000000….0000N1N2 …, donde el número de ceros DESPUÉS DE LA COMA DECIMAL es c+1.
Así, si ic+1 ≠ 9, al menos las c primeras cifras del desarrollo decimal de (π + e) son iguales a las c primeras cifras del desarrollo decimal de (π + Ei). …
Otra corrección:
«Sea (π + e) = 5,d1d2..dL… , donde d1d2..dL es el período de L dígitos y dL es diferente de cero». En realidad, dL si puede valer cero.
Si hubiésemos supuesto que (π + e) es un racional con desarrollo decimal finito, entonces si, dL ≠ 0.
El mismo método puede emplearse para demostrar que el producto π.e es un número irracional.
DEMOSTRACIÓN DE LA IRRACIONALIDAD DE (π + e). (POR REDUCCIÓN AL ABSURDO). Sabemos que 5 < (π + e) < 6 Supongamos que (π + e) es un número racional periódico . Sea (π + e) = 5,d1d2..dL… , donde d1d2..dL es su período de L dígitos. Se define el conjunto infinito R1 = ( E1, E2, E3, …), cuyos elementos son cada uno de los racionales que se forman al agregar uno a uno los dígitos decimales del número e = 2, 71828182845904523360… Entonces, E1 = 2,7 ; E2 = 2,71 ; E3 = 2,718 ; E4 = 2,7182… Lee más »
Otra forma de razonar puede ser la siguiente: Sea (π + e) = 5, d1d2..dL… , donde d1d2..dL es su período de L dígitos. Al multiplicar por 10^L en ambos miembros, se obtiene : (10^L). (π + e) = 5d1d2..dL, d1d2..dL …. Entonces: 10^L = (5d1d2..dL, d1d2..dL ….)/(π + e) …………………….. (1) Como por definición de irracional las c primeras cifras decimales de (π + e) son diferentes de las c primeras del desarrollo decimal periódico del numerador, la expresión (1) es un absurdo. Por tanto, la suposición inicial es falsa. Y se concluye que (π + e) ≠ 5d1d2..dL,… Lee más »
Sea I un número irracional y sea r un racional. Supongamos que r > I. Llamemos a la pareja I y (r – I) irracionales complementarios. Si tenemos dos irracionales no complementarios I1 e I2, entonces (I1 + I2) es un irracional. En particular, la suma de dos trascendentes no complementarios, como π y e, también es otro irracional.
Si se multiplica el irracional trascendente π por una potencia de 10, ¿es el resultado de esa multiplicación otro número irracional trascendente?.
Sí.
Más fácil que el polinomio que anula al racional r=p/q, qx-p =0. Es el polinomio x-r. Que anula a r y tiene coeficientes racionales.