…las siguientes potencias relacionadas con la unidad imaginaria i
![\begin{matrix} i^i \\ \\ \sqrt[i]{i} \end{matrix}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D+i%5Ei+%5C%5C+%5C%5C+%5Csqrt%5Bi%5D%7Bi%7D+%5Cend%7Bmatrix%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=2 "\begin{matrix} i^i \\ \\ \sqrt[i]{i} \end{matrix}")
en realidad son números reales?
Para comprobarlo necesitamos conocer la siguiente propiedad de los logaritmos: log(ab)=b log(a). Vamos con las dos demostraciones:
Primera potencia
![\begin{matrix} i^i=e^{\log{(i^i)}}=e^{i \, \log{(i)}}= \\ \\ = \left [ \log{(i)}=\ln{(|i|)}+i \, \cfrac{\pi}{2}=\ln{(1)}+i \, \cfrac{\pi}{2}=i \, \cfrac{\pi}{2} \right ]=\\ \\ =e^{i \, i \, \frac{\pi}{2}}=[i^2=-1]=e^{-\frac{\pi}{2}} \Longrightarrow \\ \\ \Longrightarrow \mathbf{i^i=e^{-\frac{\pi}{2}}} \end{matrix}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D+i%5Ei%3De%5E%7B%5Clog%7B%28i%5Ei%29%7D%7D%3De%5E%7Bi+%5C%2C+%5Clog%7B%28i%29%7D%7D%3D+%5C%5C+%5C%5C+%3D+%5Cleft+%5B+%5Clog%7B%28i%29%7D%3D%5Cln%7B%28%7Ci%7C%29%7D%2Bi+%5C%2C+%5Ccfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3D%5Cln%7B%281%29%7D%2Bi+%5C%2C+%5Ccfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3Di+%5C%2C+%5Ccfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+%5Cright+%5D%3D%5C%5C+%5C%5C+%3De%5E%7Bi+%5C%2C+i+%5C%2C+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%3D%5Bi%5E2%3D-1%5D%3De%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D+%5CLongrightarrow+%5C%5C+%5C%5C+%5CLongrightarrow+%5Cmathbf%7Bi%5Ei%3De%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bmatrix%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=1 "\begin{matrix} i^i=e^{\log{(i^i)}}=e^{i \, \log{(i)}}= \\ \\ = \left [ \log{(i)}=\ln{(|i|)}+i \, \cfrac{\pi}{2}=\ln{(1)}+i \, \cfrac{\pi}{2}=i \, \cfrac{\pi}{2} \right ]=\\ \\ =e^{i \, i \, \frac{\pi}{2}}=[i^2=-1]=e^{-\frac{\pi}{2}} \Longrightarrow \\ \\ \Longrightarrow \mathbf{i^i=e^{-\frac{\pi}{2}}} \end{matrix}")
Segunda potencia
![\begin{matrix} \sqrt[i]{i}=e^{\log{(\sqrt[i]{i})}}=e^{\frac{\log{(i)}}{i}}= \\ \\ = \left [ \log{(i)}=\ln{(|i|)}+i \, \cfrac{\pi}{2}=\ln{(1)}+i \, \cfrac{\pi}{2}=i \, \cfrac{\pi}{2} \right ]=\\ \\ =e^{\frac{i \, \frac{\pi}{2}}{i}}=e^{\frac{\pi}{2}} \Longrightarrow \\ \\ \Longrightarrow \mathbf{\sqrt[i]{i}=e^{\frac{\pi}{2}}} \end{matrix}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D+%5Csqrt%5Bi%5D%7Bi%7D%3De%5E%7B%5Clog%7B%28%5Csqrt%5Bi%5D%7Bi%7D%29%7D%7D%3De%5E%7B%5Cfrac%7B%5Clog%7B%28i%29%7D%7D%7Bi%7D%7D%3D+%5C%5C+%5C%5C+%3D+%5Cleft+%5B+%5Clog%7B%28i%29%7D%3D%5Cln%7B%28%7Ci%7C%29%7D%2Bi+%5C%2C+%5Ccfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3D%5Cln%7B%281%29%7D%2Bi+%5C%2C+%5Ccfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3Di+%5C%2C+%5Ccfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+%5Cright+%5D%3D%5C%5C+%5C%5C+%3De%5E%7B%5Cfrac%7Bi+%5C%2C+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7Bi%7D%7D%3De%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D+%5CLongrightarrow+%5C%5C+%5C%5C+%5CLongrightarrow+%5Cmathbf%7B%5Csqrt%5Bi%5D%7Bi%7D%3De%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bmatrix%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=1 "\begin{matrix} \sqrt[i]{i}=e^{\log{(\sqrt[i]{i})}}=e^{\frac{\log{(i)}}{i}}= \\ \\ = \left [ \log{(i)}=\ln{(|i|)}+i \, \cfrac{\pi}{2}=\ln{(1)}+i \, \cfrac{\pi}{2}=i \, \cfrac{\pi}{2} \right ]=\\ \\ =e^{\frac{i \, \frac{\pi}{2}}{i}}=e^{\frac{\pi}{2}} \Longrightarrow \\ \\ \Longrightarrow \mathbf{\sqrt[i]{i}=e^{\frac{\pi}{2}}} \end{matrix}")
Conclusión
Al ver las demostraciones es bastante evidente lo expuesto al comienzo del post, pero no deja de ser curioso que dos números formados de esa manera únicamente con la unidad imaginaria acaben siendo números reales. Y, cómo no, con el número π apareciendo por ahí en medio, como casi siempre.
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Hola, me encanta tu blog, lo miro todos los días.
Una pregunta: no habría un pequeño fallo? Tú sólo has elegido la rama principal (no sé si se dice así en castellano) para el logaritmo. Si eligieras todas, necesitarías poner en la parte imaginaria del logaritmo 2KPi por lo que ya no sería un número real. Es real sólo en el caso k=0, ¿no?
Si es verdad, es bastante curioso. Incluso puestas en reales no deja de ser curioso el hecho de que uno de ellos sea el mismo número que el otro solo que con el exponente negado.
Saludos.
Sería real incluso teniendo en cuenta todas las ramas del logaritmo porque se añade solamente 2kπi. Como el logaritmo (real) de 1 es 0, log i es imaginario puro. Al multiplicarlo por i aparece -π/2 – 2kπ = -(1+4k)π/2 en el exponente.
Saludos
alguien gracias :).
Respecto a tu pregunta decirte que seguiría siendo un número real como te ha dicho Nineliv. Ten en cuenta que i multiplica a todo el logaritmo.
Perdonad la pregunta, que seguro que es muy estúpida, pero no entiendo la propiedad
ln(i)=ln(|i|) + i(pi/2)
Alguién me echa una mano? Gracias y enhorabuena por el blog, que es la primera vez que comento.
Miguel es la definición del logaritmo complejo. Echa un ojo a este enlace. En el post se ha tomado la rama principal del logaritmo. Por eso no aparece el término 2kPi.
Por cierto, gracias por las felicitaciones. Y sigue comentando, no te cortes 🙂
Genial, ya ni me acordaba de la forma polar de los números complejos. Ahora cuadra todo! 😀
Perdón… me he equivocado de blog!
jauajuajaua
Dios mioooo! Qué mareo con tantos números y tanta lógica! Me ha recordado a mis malos momentos de matemáticas en el instituto! 🙁
La segunda potencia es fácilmente deducible de la primera:
i^(1/i)=i^(-i)=1/(i^i)
como i^i=e^(pi/2)
1/(i^i)=1/e^(pi/2)=e^(-pi/2)
Rectifico las últimas línea de mi comentario anterior…
como i^i=e^(-pi/2)
1/(i^i)=1/e^(-pi/2)=e^(pi/2)